The cover time of a Markov chain on a finite state space is the expected time until all states are visited. We show that if the cover time of a discrete-time Markov chain with rational transitions probabilities is bounded, then it is a rational number. The result is proved by relating the cover time of the original chain to the hitting time of a set in another higher dimensional chain. We also extend this result to the setting where $k\geq 1 $ independent copies of a Markov chain are run simultaneously on the same state space and the cover time is the expected time until each state has been visited by at least one copy of the chain.


翻译:在有限的状态空间上,Markov链条的覆盖时间是所有各州被访问之前的预期时间。 我们显示,如果将离散时间的Markov链条的覆盖时间与合理过渡概率相连接,那么这是一个合理数字。 将原始链条的覆盖时间与另一个更高维链中一组的撞击时间联系起来, 就能证明这一结果。 我们还将这一结果扩大到一个位置, 即Markov链条的独立副本在同一个状态空间上同时运行, 而覆盖时间是预期的时间, 直到每个国家至少得到一个链条的覆盖时间。

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马尔可夫链,因安德烈·马尔可夫(A.A.Markov,1856-1922)得名,是指数学中具有马尔可夫性质的离散事件随机过程。该过程中,在给定当前知识或信息的情况下,过去(即当前以前的历史状态)对于预测将来(即当前以后的未来状态)是无关的。 在马尔可夫链的每一步,系统根据概率分布,可以从一个状态变到另一个状态,也可以保持当前状态。状态的改变叫做转移,与不同的状态改变相关的概率叫做转移概率。随机漫步就是马尔可夫链的例子。随机漫步中每一步的状态是在图形中的点,每一步可以移动到任何一个相邻的点,在这里移动到每一个点的概率都是相同的(无论之前漫步路径是如何的)。
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