A family $\mathcal F$ has covering number $\tau$ if the size of the smallest set intersecting all sets from $\mathcal F$ is equal to $s$. Let $m(n,k,\tau)$ stand for the size of the largest intersecting family $\mathcal F$ of $k$-element subsets of $\{1,\ldots,n\}$ with covering number $\tau$. It is a classical result of Erd\H os and Lov\'asz that $m(n,k,k)\le k^k$ for any $n$. In this short note, we explore the behaviour of $m(n,k,\tau)$ for $n<k^2$ and large $\tau$. The results are quite surprising: For example, we show that $m(k^{3/2},k,\tau) = (1-o(1)){n-1\choose k-1}$ for $\tau\le k-k^{3/4+o(1)}$. At the same time, $m(k^{3/2},k,\tau)<e^{-ck^{1/2}}{n\choose k}$ if $\tau>k-\frac 12k^{1/2}$.
翻译：家族 $ mathcal F$ 包含 $ 1,\\ ldots,n 美元 包含 $ tau$ 。 如果最小的一组的大小从 $ mathcal F$交叉所有套件的大小等于 $ 美元, 家庭 F$ 家庭 $ (n, k,\ tau) 美元代表最大的交叉套件 $ 1,\ ldots, n $ 包括 $ $ 。 这是Erd\ Hos 和 Lov\ asz 的典型结果, 美元(n, k, k)\le k k$ 。 在这个简短的注释中, 我们为 $ < kn, k,\\ tau $ $, 美元 美元和 大 $ tau 。 结果令人惊讶 : 例如, 我们显示 $ (k\) 3/2}, k, k,\\\\\\\\\\\\\\\ k\ k\ k\ k\ k\ k\ k\ k} At time, $ k) $ k, k\ k\ k\ k\ k\ k\ k\ k\ k\ k\ k\ k\ k\ k\ t
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