从牛顿到金融危机 ——物理、通信技术和投资（中）
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李 斌
斯坦福大学电子工程系教授汤姆·库沃（美国工程院院士）进一步深刻地研究了如何把香农熵应用到投资领域，并提出了一个有意思和有争议的“普适组合”理论。他从理论上论证了“普适组合”是一种最优投资方法，虽然他并没有给出在实际投资中应当如何构建“普适组合”。
这个“普适组合”在通信理论界是被大家认可的，库沃教授为此得到了通信理论领域最高奖——香农奖，但这个理论却遭到了著名经济学家、诺贝尔奖获得者萨缪尔森（1915~2009）的强烈批评。萨缪尔森为此写了一篇全文只用单音节的词的反驳文章（只是在注释中用了多音节的词）。库沃教授曾尝试把他的理论付诸实践，开过一个对冲基金，关于他的这个对冲基金，人们了解得不多。
爱德华·绍帕是早期成功定量投资的先行者之一，他把凯利判据应用到投资中，也办过对冲基金。后来，绍帕写过许多定量投资的文章。这是不多见的，因为大部分对冲基金的管理人员对他们的投资策略是避而不谈的，即便他们离开他们管理的基金已经多年。
欧文·伯莱坎普是加州大学伯克利分校数学系退休教授，美国科学院、工程院院士，是一个研究领域非常广泛的人。他在通信领域、密码学和数学等许多领域有广泛的贡献。举例来说，他发明了通信领域中非常有用的Reed-Solomon编码的解码方法。他成功地开创了一个密码技术公司，并把公司做上市。他的最新研究领域是有关围棋中终盘（又叫“官子”）的数学理论。2009年元旦，作者在旧金山举办的江铸久杯围棋赛上遇见了伯莱坎普教授。在一盘棋后问他：“你的围棋理论研究对你比赛有没有帮助？”他说：“到收官时，我已经落后太多。”言下之意，到收官时如果不是落后太多，那可就不一定了。关于伯莱坎普和围棋，江铸久和芮乃伟曾写过一篇很好的文章《喜欢围棋的数学天才欧文·伯莱坎普博士》。研究围棋的数学理论有什么意义呢？
对国际象棋的计算机研究曾经对计算机科学的发展起到非常重要的作用。图灵在1947年，香农在1949年发表的关于国际象棋的计算机研究是理论计算机科学的奠基性的工作之一。伯莱坎普教授本人在1962年发表的这方面的工作也是计算科学中的重要工作。由于计算机已经可以战胜人类国际象棋大师，这方面的部分研究就转移到关于围棋的数学理论的研究上了。为什么要研究围棋的终盘呢？因为围棋太复杂了，终盘是相对而言比较容易的一部分。历史上，国际象棋的计算机研究也是从对终盘的研究开始的。
这里提及伯莱坎普的另一个原因是，他和大名鼎鼎的文艺复兴基金公司的联系。
文艺复兴基金公司是目前为止最成功的定量对冲基金公司之一。文艺复兴基金公司是由詹姆斯·西蒙斯于1982年创办的。这个公司中最成功的基金叫大奖章基金。大奖章基金在过去二三十年有着非常优秀的回报。西蒙斯凭着少许的资本，依靠大奖章基金多年优厚的回报，目前个人资产有85亿美元之多(《福布斯》2010年3月的数据)。大奖章基金是由Axcom Trading Advisors设立的。伯莱坎普对Axcom起了很重要的作用，曾经是它的最大的股东和总经理，并制定了它的投资策略。伯莱坎普在1991年把Axcom基金以不菲的价格卖给了文艺复兴基金公司。（可见，伯莱坎普做的非常数学的研究，诸如编码、密码理论和算法研究都给了他丰厚的经济回报，不知道他目前研究的围棋终盘的数学理论，又会带来什么样的回报?）
西蒙斯是一个卓有成就的数学家，多年来担任纽约州立大学石溪分校数学系主任。他博士毕业后，曾在伯克利大学和陈省身先生工作过一段时间。他们一起提出的陈—西蒙斯不变量在微分几何、量子场论和超弦理论中都是非常重要的一个概念。
另一个非常成功的对冲基金的创始人大卫·萧对西蒙斯的评价是：“他是一个第一流的学者，用真正科学的方法做（炒股）交易，很少有人像他那样。”大卫·萧自己创立的对冲基金也是非常成功的，从少许的资本开始，他目前也有25亿美元的身价(《福布斯》2010年3月的数据)。大卫·萧获得斯坦福大学计算机博士，在创立对冲基金前曾在哥伦比亚大学任助理教授。
投资成功之后，西蒙斯和大卫·萧都热衷于捐款和公益事业。比如，西蒙斯曾多次捐款给杨振宁先生所在的纽约州立大学石溪分校物理系及布鲁克海文国家实验室。大卫·萧热衷于捐款支持基础生命科学的研究。顺便提一下，互联网电子商务的最成功的公司之一——亚马逊公司的原始的思想是当时大卫·萧公司的一个员工Jeff Bezos提交给公司的一个内部建议。
另外值得一提的是，西蒙斯曾经做过三年的密码学的研究。文艺复兴基金公司还聘用了多位做自然语言处理研究的专家。熵在自然语言处理研究方面也是非常重要的，因为一段语言中包含的信息量与这段语言的熵是紧密相关的。
西蒙斯、大卫·萧和绍帕等通过科学的方法来投资。按照西蒙斯的话，这种投资的特点是：“依照基本面的(炒股)交易让我难受，因为我懂科学”，并依照科学的办法来投资。并由此诞生了一个新的工种“矿工(Quant)”。近年来，大批物理、数学、统计、计算机、电子工程专业的博士和专业人士转行做了“矿工”。其中，许多人都在定量对冲基金工作。
一般而言，对冲基金的投资策略和方法都是对外保密的。但我们前面提到的持续重新平衡组合，凯利判据和高频交易至少一度曾被多家对冲基金所采用。
追溯历史，起源于热学研究的熵，通过通信理论进入到了投资领域。许多人也许依靠建立在上面的一些方法得到了丰厚的回报，并开创了定量投资的方向。但另外一个与热学相关的方程，对现代西方金融体系有着更大的影响，甚至与发生自2007年开始的金融危机有着不可分割的联系。
简单地讲，股票期权是一种权力，拥有它的人就是拥有一种在未来可以行使的权力。这种权力的最简单的形式是在未来某个特定的时间，可以用一定的价格购买或出售所对应的股票。股票期权最原始的用处是人们为了预防对未来不确定的一种保险。
举例来说：一只股票A，今天的价格是28元/股。你计划在今后三个月或六个月投资这只股票。为什么不在今天投资呢？可以有非常多的原因。举例来说，目前资金不到位，或三到六个月后，你的商业运作需要你持有这只股票；甚至更简单，你认为这只股票今后会涨，但你不想现在就进入市场，以便保持资金的流动。可是，你又想做些什么来预防这只股票今后涨很多，你丧失以后买它的机会。股票期权的原始用处就是为了满足这种需求设置的。你可以到股票期权市场看看这只股票的期权（又称看涨期权，买方期权）的价格。（股票期权交易在西方金融交易市场是很普通的，国内暂时还没有开放股票期权交易，其原因与我们下面要讨论的金融衍生物的风险是紧密相联系的。有鉴于国内有可能近期开放股票期权交易，我们举例仍然用元做货币单位，而不用西方货币单位）。
比如说，你花了1.18元/股购买了三个月后目标价格是28元/股的期权，这样你就有了权力，在三个月后，可以用28元/股购买这只股票，而不论这只股票当时的价格。这是一种权力，你可以行使它或不行使它。如果三个月后，股票价格低于28元/股，你就没有必要去行使这种权力。如果三个月后，股票价格高于28元/股，你就可以去行使这种权力。举例来说，如果三个月后，股票价格是35元/股，你仍然可以用28元/股去买进，因为你有这种权力。
举一个幸运买家的例子。
出于商业需求，你决定购买10万股三个月后目标价格是40元/股的期权。按照上面的表，这个期权的价格是0.02元/股。这样，你只需要付出100000´0.02＝2000元就可以购买这样一份权力，容许你三个月后，用40元/股的价格来购买10万股股票。我们进一步假设，由于股票市场表现非常好，加上这只股票有出人意料的重大好消息，这只股票三个月后的价格涨到了50元/股。由于你拥有40元/股的买方期权，你就可以行使这个权力，用40元/股的价格买进10万股这只股票。这样你的投资回报就是100000´(50－40)＝1000000元。由于你动用的资金是2000元，你的投资回报率是1000000/2000＝500倍。（为了简单说明，我们忽略了一些期权交易手续费用。由于期权和保险的相似，这个幸运买家的投资回报，又可以解释为，花了2000元买了一份保险，保险公司后来为此赔给了这位买家一百万元。）作为对比，如果你不是用股票期权，而是直接购买股票的话，购买10万股股票，需要资金100000´28＝2800000元。三个月后，由于涨到了50元/股，你的投资回报是100000´(50－28)＝2200000元，你的投资回报率是22000000/2800000＝78.57%。虽然说，三个月就有78.57%的投资回报率是非常优秀的，但仍然和使用期权获得的500倍的投资回报率相差悬殊。
这个例子说明股票期权的一个重要特点：杠杆效应（用武侠小说中的话就是“四两拨千斤”）。你可以用较少的资金，对未来有较大的控制影响。股票价格本身一个较小的变化，可以导致股票期权价格一个较大的变化。
这个例子引出了两个有意思的问题。
第一，这个股票期权的价格是怎么决定的？
第二，你只用了2000元购买股票期权，三个月后你赚了一百万元。那么，明显的是卖给你股票期权的一方（卖家）亏了钱（成为不幸的卖家）。那么卖家为什么要卖给你这个期权？
第二个问题比较容易解释，我们先回答它。在上面的例子中，如果三个月后，股票价格没有涨到40元/股（例如股票价格涨到了39.99元/股），到时，这个期权就没有价值。你就会损失你最初的2000元的投资，这2000元就进了期权卖家的腰包。期权卖家认为，三个月后，股票涨到40元/股以上的概率非常小，他承担的风险很小，所以他就愿意用很低的价格0.02元/股卖这个期权。如果他认为三个月后，股票涨到40元/股以上的概率比较高，他承担的风险较大，那么对同一个期权（三个月后，目标股票价格是40元/股的期权），他的要价就会比较高。当然，如果他的要价过高，就没有买方了。
可见，这里面的一个核心问题是，如何给一个特定的期权定价。从直观上看，一个股票期权的价格f取决于这只股票此刻的价格S，这只股票未来的目标价格S(t)，时间间隔Dt，利息r以及这只股票价格未来走向的不确定程度s（又被翻译成波动性）。上述几个因素中，股票期权的价格依赖于时间间隔，是由于未来越远不确定程度就越大，正如俗话所说“夜长梦多”。股票的期权依赖利息，一方面是由于涉及未来的投资，原始资本可以看成是从银行借来的；另一方面，利息影响人们的投资。举例来说，如果银行的存款利息非常高，那么人们就更愿意把钱放到银行，去追求无风险回报，而不是去购买期权。
那么，一个股票的期权是如何依赖上面列的因素呢？
答案就是大名鼎鼎的Black-Scholes-Merton方程，而这个方程就是热扩散理论中的一类热扩散方程。这个热扩散方程根源于爱因斯坦研究过的布朗运动。为什么股票的期权价格遵循一个热扩散方程？因为股票价格本身的变化遵循一类布朗运动（至少理论上可以通过这样的模型来研究）。认识到股票的期权价格遵循一个扩散方程，对股票期权理论的发展和理解都很有影响。
方程中股票的期权价格f是作为时间t和股票本身价格S的函数f＝f（S,t）。利息r和不确定程度s 被假设为与时间无关的常数。如果利息r和不确定程度s 是时间的函数，方程需要做些简单修改。
给定合适的边界条件，通过求解方程，可以给出一个股票期权的“合理”定价。
Black-Scholes-Merton理论对于金融理论和当代西方金融业是极为重要的。因为我们前面举的例子中的股票期权仅仅是西方金融行业中常用的金融衍生物中最简单的一种。不仅仅股票可以有期权，股票指数和大宗商品（如原油，金属）期货都有期权，他们都是金融衍生物。各种简单的金融衍生物又可以组合成更为复杂的金融衍生物。每天，各种复杂的金融衍生物都在世界许多金融市场上交易。正如单一股票期权的交易需要有合理的定价模型，每种复杂的金融衍生物也需要自己的定价模型。一般而言，复杂的金融衍生物的定价模型常常很复杂，没有解析表达式。
对于金融衍生物的定价，Black-Scholes-Merton方程是至关重要的。可这个方程有一个容易引起麻烦的地方。方程中股票的期权价格f＝f（S,t）是需要求解的函数，时间t、股票的目标价格S是作为自变量进入的，利息r在简单的情况下，可以假设为常数。这些都是确定的因素，不会引起麻烦。但股票价格未来走向的不确定程度s 到底是什么呢？应该怎样计算呢？
由于我们不知道未来，只能通过分析这只股票过去的价格变化，并假设（希望）它未来的变化和过去的行为差不多。一只股票的价格变化依赖的因素太多，与企业本身的表现、竞争对手和行业的表现、整个市场的表现，以及国际国内大的社会政治经济形势都有关系。简单地讲，一只股票价格未来走向的不确定程度s是很不容易估计的。如果股票价格的s 估计得不准，把它带入Black-Scholes-Merton方程，就会导致与它相关的金融衍生物（例如，它的股票期权）的定价不准，并导致与此相关的交易存在很大的风险。简单的股票期权如此，复杂的金融衍生物的不确定程度（波动性及相关风险）的估算就更是非常困难和容易出错的，2007年开始的金融危机产生的原因就与这种困难密不可分。（未完待续）
本文选自《现代物理知识》2010年第2期 时光摘编
来源：现代物理知识
编辑：Quanta Yuan
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