一文带你了解深度学习中的各种卷积

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一文带你了解深度学习中的各种卷积

2022 年 7 月 29 日 极市平台

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作者丨Kunlun Bai

来源丨机器之心

编辑丨极市平台

极市导读

本文将围绕深度学习领域的卷积，用浅显易懂的方式介绍各种卷积设计及其优势，帮助读者理解它们实际的工作方式。 >>极市七夕粉丝福利活动：搞科研的日子是364天，但七夕只有一天！

如果你听过深度学习中不同的卷积类型，包括：

2D, 3D, 1*1, Transposed, Dilated, Spatially Separable, Depthwise Separable, Flattened, Grouped, Shuffled Grouped Convolution, ...

这些，但是并不清楚它们实际意味着什么，本文就是带大家学习这些卷积到底是如何工作的。

在本文中，我尽量使用简单明了的方式向大家解释深度学习中常用的几种卷积，希望能够帮助你建立学习体系，并为你的研究提供参考。

1. Convolution VS Cross-correlation

卷积是一项在信号处理、视觉处理或者其他工程/科学领域中应用广泛的技术。在深度学习中，有一种模型架构，叫做Convolution Neural Network。深度学习中的卷积本质上就是信号处理中的Cross-correlation。当然，两者之间也存在细微的差别。

在信号/图像处理中，卷积定义如下：

由上公式可以看出，卷积是通过两个函数f和g生成第三个函数的一种数学算子。对f与经过翻转和平移的g乘积进行积分。过程如下：

信号处理中的卷积。滤波器g首先翻转，然后沿着横坐标移动。计算两者相交的面积，就是卷积值。

另一方面，Cross-correlation被称为滑动点积或者两个函数的滑动内积。Cross-correlation中的滤波器函数是不用翻转的。它直接划过特征函数f。f和g相交的区域就是Cross-correlation。

在深度学习中，卷积中的滤波器不翻转。严格来说，它是Cross-correlation。我们基本上执行元素对元素的加法或者乘法。但是，在深度学习中，我们还是习惯叫做Convolution。滤波器的权重是在训练期间学习的。

2. Convolution in Deep Learning

卷积的目的是为了从输入中提取有用的特征。在图像处理中，有很多滤波器可以供我们选择。每一种滤波器帮助我们提取不同的特征。比如水平/垂直/对角线边缘等等。在CNN中，通过卷积提取不同的特征，滤波器的权重在训练期间自动学习。然后将所有提取到的特征“组合”以作出决定。

卷积的优势在于，权重共享和平移不变性。同时还考虑到了像素空间的关系，而这一点很有用，特别是在计算机视觉任务中，因为这些任务通常涉及识别具有空间关系的对象。（例如：狗的身体通常连接头部、四肢和尾部）。

The single channel version

在深度学习中，卷积是元素对元素的加法和乘法。对于具有一个通道的图像，卷积如上图所示。在这里的滤波器是一个3x3的矩阵[[0,1,2],[2,2,0],[0,1,2]]。滤波器滑过输入，在每个位置完成一次卷积，每个滑动位置得到一个数字。最终输出仍然是一个3x3的矩阵。（注意，在上面的例子中，stride=1，padding=0）

The muti-channel version

在很多应用中，我们需要处理多通道图片。最典型的例子就是RGB图像。

另一个多通道数据的例子是CNN中的层。卷积网络层通常由多个通道组成（通常为数百个通道）。每个通道描述前一层的不同方面。我们如何在不同深度的层之间进行转换？如何将深度为n的层转换为深度为m下一层？

在描述这个过程之前，我们先介绍一些术语：layers（层）、channels（通道）、feature maps（特征图），filters（滤波器），kernels（卷积核）。从层次结构的角度来看，层和滤波器的概念处于同一水平，而通道和卷积核在下一级结构中。通道和特征图是同一个事情。一层可以有多个通道（或者说特征图）。如果输入的是一个RGB图像，那么就会有3个通道。“channel”通常被用来描述“layer”的结构。相似的，“kernel”是被用来描述“filter”的结构。

filter和kernel之间的不同很微妙。很多时候，它们可以互换，所以这可能造成我们的混淆。那它们之间的不同在于哪里呢？一个“Kernel”更倾向于是2D的权重矩阵。而“filter”则是指多个Kernel堆叠的3D结构。如果是一个2D的filter，那么两者就是一样的。但是一个3Dfilter，在大多数深度学习的卷积中，它是包含kernel的。每个卷积核都是独一无二的，主要在于强调输入通道的不同方面。

讲了概念，下面我们继续讲解多通道卷积。将每个内核应用到前一层的输入通道上以生成一个输出通道。这是一个卷积核过程，我们为所有Kernel重复这样的过程以生成多个通道。然后把这些通道加在一起形成单个输出通道。下图：

输入是一个5x5x3的矩阵，有三个通道。filter是一个3x3x3的矩阵。首先，filter中的每个卷积核分别应用于输入层中的三个通道。执行三次卷积，产生3个3x3的通道。

然后，这三个通道相加（矩阵加法），得到一个3x3x1的单通道。这个通道就是在输入层（5x5x3矩阵）应用filter（3x3x3矩阵）的结果。

同样的，我们可以把这个过程看作是一个3Dfilter矩阵滑过输入层。值得注意的是，输入层和filter有相同的深度（通道数量=卷积核数量）。3Dfilter只需要在2维方向上移动，图像的高和宽。这也是为什么这种操作被称为2D卷积，尽管是使用的3D滤波器来处理3D数据。在每一个滑动位置，我们执行卷积，得到一个数字。就像下面的例子中体现的，滑动水平的5个位置和垂直的5个位置进行。总之，我们得到了一个单一通道输出。

现在，我们一起来看看，如何在不同深度的层之间转换。假设输入层有_x_in__个通道，我们想得到输出有_D_out__个通道。我们只需要将_D_out__ filters应用到输入层。每一个 filter有_D_in__个卷积核。每个filter提供一个输出通道。完成该过程，将结果堆叠在一起形成输出层。

3. 3D Convolution

在上一节的最后一个插图中，可以看出，这实际上是在完成3D卷积。但是在深度学习中，我们仍然把上述操作称为2D卷积。3D数据，2D卷积。滤波器的深度和输入层的深度是一样的。3D滤波器只在两个方向上移动（图像的高和宽），而输出也是一个2D的图像（仅有一个通道）。

3D卷积是存在的，它们是2D卷积的推广。在3D卷积中，滤波器的深度小于输入层的深度（也可以说卷积核尺寸小于通道尺寸）。所以，3D滤波器需要在数据的三个维度上移动（图像的长、宽、高）。在滤波器移动的每个位置，执行一次卷积，得到一个数字。当滤波器滑过整个3D空间，输出的结果也是一个3D的。

和2D卷积能够编码2D域中的对象关系一样，3D卷积也可以描述3D空间中的对象关系。3D关系在一些应用中是很重要的，比如3D分割/医学图像重构等。

4. 1x1 Convolution

下面我们来看一种有趣的操作，1x1卷积。

我们会有疑问，这种卷积操作真的有用吗？看起来只是一个数字乘以输入层的每个数字？正确，也不正确。如果输入数据只有一个通道，那这种操作就是将每个元素乘上一个数字。

但是，如果输入数据是多通道的。那么下面的图可以说明，1 x 1卷积是如何工作的。输入的数据是尺寸是H x W x D，滤波器尺寸是1 x 1x D，输出通道尺寸是H x W x 1。如果我们执行N次1x1卷积，并将结果连接在一起，那可以得到一个H x W x N的输出。

1 x 1卷积在论文《Network In Network》中提出来。并且在Google发表的《Going Deeper with Convolution》中也有用到。1 x 1卷积的优势如下：

降低维度以实现高效计算
高效的低维嵌入，或特征池
卷积后再次应用非线性

前两个优势可以从上图中看出。完成1 x 1卷积操作后，显著的降低了depth-wise的维度。如果原始输入有200个通道，那么1 x 1卷积操作将这些通道嵌入到单一通道。第三个优势是指，在1 x 1卷积后，可以添加诸如ReLU等非线性激活。非线性允许网络学习更加复杂的函数。

5. Convolution Arithmetic

现在我们知道了depth维度的卷积。我们继续学习另外两个方向（height&width），同样重要的卷积算法。一些术语：

Kernel size（卷积核尺寸）：卷积核在上面的部分已有提到，卷积核大小定义了卷积的视图。

Stride（步长）：定义了卷积核在图像中移动的每一步的大小。比如Stride=1，那么卷积核就是按一个像素大小移动。Stride=2，那么卷积核在图像中就是按2个像素移动（即，会跳过一个像素）。我们可以用stride>=2，来对图像进行下采样。

Padding：可以将Padding理解为在图像外围补充一些像素点。padding可以保持空间输出维度等于输入图像，必要的话，可以在输入外围填充0。另一方面，unpadded卷积只对输入图像的像素执行卷积，没有填充0。输出的尺寸将小于输入。

下图是2D卷积，Kernel size=3，Stride=1，Padding=1：

这里有一篇写得很好的文章，推荐给大家。它讲述了更多的细节和举了很多例子来讲述不同的Kernel size、stride和padding的组合。这里我只是总结一般案例的结果。

输入图像大小是_i_，kernel size=k，padding=p，stride=s，那么卷积后的输出计算如下：

6. Transposed Convolution

在许多应用和网络架构中，我们经常想要做逆向的卷积，即要进行上采样。一些示例包括了图像高分辨率，需要将低维特征映射到高维空间，比如自动编码器或者语义分割。（对于语义分割，首先用编码器提取特征图，然后在解码器中恢复原始图像大小，这样来实现分类原始图像的每个像素。）

更直接的，可以通过应用插值方案或手动创建规则来实现上采样。现在的一些结构，像神经网络，倾向于让网络自己学习正确的转换。要实现这一点，我们可以使用Transposed Convolution。

转置卷积（Transposed Convolution）在文献中也称为deconvolution或者fractionally strided convolution。

但是“deconvolution”这个名字不太合适，因为Transposed Convolution毕竟不是信号/图像处理中定义的那种反卷积。从技术上讲，在信号/图像处理中deconvolution是反向的卷积操作。我们这里讲的不是这种情况。因为这，很多学者很反对将Transposed Convolution叫做deconvolution。下面我们会讲解，为什么将这种卷积操作叫做“Transposed Convolution”会更合适。

我们可以使用直接卷积实现转置卷积。看下面图片中的例子，输入是2 x 2，填充2 x 2的0边缘，3 x 3的卷积核，stride=1。上采样输出大小是4 x 4。

很有趣，通过填充和步长的调整，我们可以把同一张2 x 2的图像映射成不同大小的输出。下面，转置卷积应用在相同的2 x 2输入（在输入之间插入一个0）填充2 x 2边缘，stride=1。现在，输出大小为5 x 5。

通过上面的例子了解转置卷积，可以帮我们建立直观的印象。但是要具体了解如何应用，就要看看在计算机中矩阵乘法是如何计算的。这样我们也可以看出，为什么Transposed Convolution是更好的名字。

在卷积中，让我们定义C作为我们的卷积核，Large是输入图像，Small是卷积输出图像。完成卷积（矩阵乘法）后，我们下采样large图像，得到小的输出图像。卷积中的矩阵乘法满足C x Large=Small。

下面的例子展示了该操作是怎么工作的。首先将输入变成一个16 x 1的矩阵，然后将Kernel转换成4 x 16的稀疏矩阵。在稀疏矩阵和变换后的输入间执行矩阵乘法。完成后，将得到的结果矩阵（4 x 1）转换回2 x 2输出。

现在，如果我们在等式两边多次执行矩阵C转置，得到转置矩阵CT，使用矩阵与其转置矩阵的乘法给出单位矩阵的属性，得到如下的公式CT x Large=Small如下图：

如你所见，我们执行了小图像到大图像的下采样。这也是我们想要得到的。现在你也明白“Transposed Convolution”的由来。

7. Dilated Convolution

这是标准的离散卷积：

dilated convolution如下：

当_l=1_,dilated convolution称为标准离散卷积。

直观地说，dilated convolutions通过在卷积核元素之间插入空格来“扩张”卷积核。扩充的参数取决于我们想如何扩大卷积核。具体实现可能会不同，但内核元素之间通常会插入l-1个空格。下面的图展示了，当kernel大小为l=1，2，4的时候。

dilated convolutions的感受野，在没有增加消耗的情况下，能够观察到更大的感受野。

在图中，3 x 3的红点表明，卷积后，输出图像是3x3像素。虽然三个卷积提供的输出具有相同的大小，但是模型的感受野却是不同的。当l=1时，感受野是3 x 3；l=2时，感受野是7 x7；当l=3时，感受野扩张到15 x 15。有趣的是，这些操作的相关参数数量基本相同。因此，dilated convolution被用来扩大输出的感受野，而不增加kernel的尺寸，当多个dilated convolution一个接一个堆叠时，这特别有效。

8. Separable Convolution

Separable Convolution会在一些神经网络结构中用到，比如MobileNet。有Spatially Separable Convolution 和depthwise Separable Convolution之分。

Spatially Separable Convolution

Spatially Separable Convolution在图像的2D空间维度上操作，比如高度和宽度。从概念上说，可以将该卷积操作分为两步。我们可以看下面的例子，一个Sobel kernel，3 x 3尺寸，分为3 x 1和 1 x 3的两个kernel。

一般卷积中，是3 x 3 kernel直接和图像卷积。而Spatially Separable Convolution中，首先是3 x 1的卷积核和图像卷积，然后再是1 x 3卷积核操作。这样一来，只需要6个参数就可以搞定了，而相同的一般卷积操作需要9个参数。

更多的，在Spatially Separable Convolution中，矩阵乘法也更少。

我们一起来看一个具体的例子，一个5 x 5的图像，3 x 3的卷积核（stride=1，padding=0），需要水平扫描三次，垂直扫描三次。有9个位置，可以看下图。在每个位置，9个元素要进行乘法。所以总共是要执行9 x 9=81次乘法。

我们可以来看看Spatially Separable Convolution中是怎么样的。我们首先应用3 x 1的filter在5 x 5图像上。那么应该是水平扫描5个位置，垂直扫描3个位置。那么总共应该是5 x 3=15个位置，如下方有黄点的图所示。在每个位置，完成3次乘法，总共是15 x 3=45次乘法。现在我们得到的是一个3 x 5的矩阵。然后再在3 x 5矩阵上应用1 x 3kernel，那么需要水平扫描3个位置和垂直扫描3个位置。总共9个位置，每个位置执行3次乘法，那么是9 x 3=27次，所以完成一次Spatially Separable Convolution总共是执行了45+27=72次乘法，这比一般卷积要少。

让我们归纳一下上面的例子。现在，我们应用卷积在一个N x N的图像上，kernel尺寸为m x m，stride=1，padding=0。传统卷积需要(N-2) x (N-2) x m+(N-2)x(N-2)xm=（2N-2)x(N-2)xm次乘法。

标准卷积和Spatially Separable Convolution的计算成本比为：

当有的层，图像的尺寸N远远大于过滤器的尺寸m（N>>m）时，上面的等式就可以简化为2/m。这意味着，在该种情况下，如果kernel大小为3 x 3，那么Spatially Separable Convolution的计算成本是传统卷积的2/3。

虽然Spatially Separable Convolution可以节省成本，但是它却很少在深度学习中使用。最主要的原因是，不是所有的kernel都可以被分为两个更小的kernel的。如果我们将所有传统卷积用Spatially Separable Convolution替代，那么这将限制在训练过程中找到所有可能的kernels。找到的结果也许就不是最优的。

Depthwise Separable Convolution

现在让我们再来看看Depthwise Separable Convolution，这在深度学习中就应用得更多一些了。该卷积也是分两步，DW卷积和1 x 1卷积。

在讲解这步骤之前，我们有必要回顾一下上面提到的2D卷积和1 x 1卷积。让我们快速过一下标准2D卷积。直接看具体的案例，输入的大小是7 x 7 x 3（高、宽、通道数）。卷积核大小3 x 3 x 3。完成2D卷积操作之后，输出是5 x 5 x 1（只有一个通道）。

一般的，两个网络层之间会有多个过滤器。这里我们有128个过滤器。在应用128个2D卷积后，我们有128个5 x 5 x 1的输出特征图。我们然后将这些特征图堆叠到单层，大小为5 x 5 x 128。通过该操作，我们将输入（7 x 7 x 3）的转换成了5 x 5 x 128的输出。在空间上，高度和宽度都压缩了，但是深度拓展了。

现在我们看看使用depthwise separable convolution ，让我们看看如何获得相同的转换效果。

首先，我们将deothwise convolution应用到输入层。和使用单一3 x 3 x 3filter在2D卷积上不同，我们使用3个分开的kernel。每个kernel的尺寸是3 x 3 x 1。每个kernel只完成输入的单通道卷积。每个这样的卷积操作会得到一个5 x 5 x 1的特征图。然后，我们将三个特征图堆叠到一起，得到一个5 x 5 x 3的图像。操作结束，输出的大小为5 x 5 x 3。我们压缩了空间维度，但是输出的深度和输入是一样的。

depthwise separable convolution的第二步是，扩充深度，我们使用大小为1 x 1 x 3的kernel，完成1 x 1卷积。最后得到5 x 5 x 1的特征图。

在完成128个1 x 1卷积操作之后，我们得到了5 x 5 x 128的层。

通过上面的两步，deothwise separable convolution将输入（7 x 7 x 3）的转换成了5 x 5 x 128的输出。

整个过程如下图：

因此，deothwise separable convolution的优势是什么呢？效率！比起2D卷积，deothwise separable convolution要少很多操作。

让我们来看看2D卷积的计算消耗。有128个3 x 3 x 3卷积核，移动5 x 5次。一共要执行128 x 3 x 3 x 3 x 5 x 5=86400乘法。

separable convolution呢？在第一步deothwise convolution中，这里有3个3 x 3 x 1kernel，移动5 x 5次，一共是675次乘法。在第二步中，128个1 x 1 x 3卷积核移动5 x 5次，一共9600次乘法。总的计算消耗是675+9600=10275次乘法。消耗仅仅只有2D卷积的12%。

因此，随意一张图的处理，应用deothwise separable convolution可以节省多少时间呢？让我们根据上面的案例做一般推导。现在，假设输入是H x W x D，2D卷积（stride=1，padding=0） Nc个kernel大小为h x h x D，其中h是偶数。将输入H x W x D转换为输出层（H-h+1 x W-h+1 x Nc ）。

总的乘法操作是：Nc x h x h x D x (H-h+1) x (W-h+1)。

另一方面，使用depthwise separable convolution的计算消耗是：

D x h x h x 1 x (H-h+1) x (W-h+1) + Nc x 1 x 1 x D x (H-h+1) x (W-h+1) = (h x h + Nc) x D x (H-h+1) x (W-h+1)

后者和前者的计算消耗比例为：