著名的三门问题，是在 “胡扯” 吗？

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著名的三门问题，是在 “胡扯” 吗？

2019 年 6 月 27 日 算法与数据结构

来自：程序员小灰（微信号：chengxuyuanxiaohui）

上周，小灰写了一篇关于“三门问题”的漫画，引起了小伙伴们的激烈争论。没看过的小伙伴可以看一看：

《漫画：反直觉的 “三门问题”》

回顾问题

这个数学问题来源于一个娱乐节目。节目中有一位参与者和一位主持人，在参与者的面前有三扇关闭的门，其中两扇门的后面是空的，剩下一扇门后是一辆法拉利跑车。

主持人知道哪一扇门后面有跑车，但参与者不知道。此时让参与者人选一扇门，如果选择的是后面有跑车的那扇门，跑车就作为奖励送给参与者。

问题一直到这里都很简单：一共有三扇门，参与者随机做选择，获奖几率肯定是1/3。

下面是问题的重点，当参与者进行选择以后，暂时先不打开这扇门，接下来主持人把剩下两扇门当中的一扇打开，是空门。

此时主持人给了参与者重新选择的机会：可以坚持刚才选择的门（在图中是2号门），也可以换另一扇没有打开的门（在图中是1号门）。

如果你是游戏参与者，你怎样选择的获奖率更大？获奖率又是多少？

匪夷所思的答案

小灰自己刚刚看到这个问题的，也颇不以为然：

这种题还用问吗？有三扇门的时候，获奖率是1/3；现在排除了一扇门，剩下两个门二选一，换门或不换门，获奖率应该都是50%才对呀？

但是，正确答案是十分 “反直觉” 的：

换门的获奖率是 2/3

不换门的获奖率是 1/3

What's the hell？这简直是匪夷所思啊！

留言区里，许多小伙伴提出了质疑，许多人的想法和当初小灰自己的想法差不多：

“当最后剩下两扇门的时候，此时讨论的获奖率应该是一个独立事件，和之前参与者怎么选择，以及主持人打开空门这些事，应该完全无关才对呀？既然是一个独立事件，那么二选一，难道获奖率不是50%吗？”

对于这样的质疑，小灰十分理解。

首先需要明确一点，我们讨论的关于“换门”的获奖率不是一个独立事件，必须以第一次的选择作为基础。在概率学当中，这种情况叫做条件概率。

那么，到底什么样才是独立事件呢？

举个例子，假如游戏的参与者本来是小灰，当小灰选择一扇门，而主持人打开一扇空门之后，不明真相的小红从外面跑了进来。小红并不知道当初小灰选择的是哪一扇门，只知道剩下两扇关闭的门中，有一扇门藏有奖励。

那么此时对于小红来说，无论选择哪一扇门，获奖率都是50%，因为小红是在做独立的选择，而不是基于第一次的选择来”换门”。

这才是所谓的 “独立事件”。

从多个角度来思考

那么，在“换门”的情况下，获奖率2/3又是怎么来的呢？

小灰上周的漫画里，利用了基于“贝叶斯理论”的思想来分析换与不换的获奖率：

直白地讲，就是把第一次选择和第二次选择的所有情况进行细化，分析出每一种情况下的条件概率，再把这些概率进行加总，得到了最终的结果：

不换门的获奖率 = （1/3 X 100%）+（1/3 X 0%）+（1/3 X 0%）=1/3

换门的获奖率 = （1/3 X 0%）+（1/3 X 100%）+（1/3 X 100%）=2/3

有些小伙伴看了分析以后，仍旧感到不以为然，OK，这一定是小灰讲得不够清楚。

那么这一次，就让小灰从更多的思考角度，来解释这个反直觉的问题。

角度一：

假设没有主持人帮助打开空门这一步，那么我们换门和不换门的获奖率各是多少呢？

此时，换门也包括两种换法，但无论怎样选择，获奖率都各占1/3：

而主持人打开空门的这一操作，让换门的获奖率提升了一倍。为什么呢？因为换门的选项从两个减少到一个，正确率自然加倍了，从原来的1/3，提升到了2/3；而不换门的获奖率，仍然固定在1/3：

角度二：

思考一个更加极端的例子，假如我们的游戏中有10000扇门，而不是3扇门。

此时，当你选择了一扇门之后，你的获奖率是一万分之一。接下来，主持人为你打开9998扇空门，这时候，你该不该换门呢？

显然是应该换的。因为不换门的情况下，你中奖的几率是微乎其微的，而换门的中奖几率高达9999/10000！

角度三：

仍然回到三扇门的情况，在你第一次选择一个扇门的时候，你的获奖几率是1/3，这个是毫无疑问的。

如果此时给你一个“特殊选择”，让你要么坚持选定当前的门，要么把除了刚才选定的门以外的所有门全部打开，里面只要有任何一扇门有奖励，你就能获奖。那么，你觉得是否应该做出这个特殊选择呢？

显然，这个特殊选择的获奖率是2/3，你肯定应该做出这个特殊选择。

而在我们的问题当中，主持人替你打开一扇空门，留下你第一次选择的门和另一扇关闭的门，并给你一次换门的机会。

这个换门的选择，和刚才所描述的“特殊选择”，实际上是等价的。

用代码来验证

上面所说的都仅仅是理论分析，我们不妨用代码来实际检验一下。

  
  
    
   
   
     public static void threeDoorsTest(){
   
   
      //换门的获奖总次数
   
   
      int changeWinCount = 0;
   
   
      //不换门的获奖总次数
   
   
      int unChangeWinCount = 0;
   
   
      Random random = new Random();
   
   
      for(int i =0; i<1000; i++){
   
   
      List<Integer> doors = new ArrayList(Arrays.asList(0,1,2));
   
   
      int bonusDoor = random.nextInt(3) ;
   
   
      int selectedDoor = random.nextInt(3) ;
   
   
      //主持人打开一扇空门
   
   
      for(int j=0;j<doors.size();j++){
   
   
      if(doors.get(j)!=selectedDoor && doors.get(j)!=bonusDoor){
   
   
      doors.remove(j);
   
   
      break;
   
   
      }
   
   
      }
   
   
      //获得换门的序号
   
   
      int changedDoor = doors.get(0);
   
   
      if(changedDoor == selectedDoor){
   
   
      changedDoor = doors.get(1);
   
   
      }
   
   
      //如果不换门有奖，unChangeWinCount加1；如果换门有奖，changeWinCount加1
   
   
      if(selectedDoor == bonusDoor){
   
   
      unChangeWinCount ++;
   
   
      }else if(changedDoor == bonusDoor){
   
   
      changeWinCount ++;
   
   
      }
   
   
      }
   
   
      System.out.println("不换门获奖总次数：" + unChangeWinCount);
   
   
      System.out.println("换门获奖总次数：" + changeWinCount);
   
   
     }
   
   
     

   
   
     public static void main(String[] args) {
   
   
      threeDoorsTest();
   
   
     }