【财富空间】李大潜院士 : 数学是素质教育和思维历练
作者：李大潜，中国数学家，复旦大学数学系教授，中国科学院院士
如果将数学学习的好坏仅仅理解为“刷题”的数量和速度，那充其量也只能成为一名熟练的数学工匠。我们所受的数学训练，所领会的数学思想和精神，所获得的数学教养，无时无刻不在发挥着积极的作用，成为取得成功的最重要的因素。
数学教育看起来只是一种知识教育，但本质上是一种素质教育。以传授与学习数学知识为载体，通过严格认真的数学学习和训练，可以使学生具备一些特有的素质和能力。
事实上，数学本质上应该是一种素质教育，是一种思维历练。拥有数学思维让我们有更理性的思考，更有逻辑的分析，能够用另外一种眼光来看这个世界。
数学的影响和作用可以说是无处不在的
要搞清为什么要学好数学，首先要认识数学这门学科本身的重要性。
世间的万事万物都有数与形这两个侧面，数学作为研究现实世界中的数量关系和空间形式的科学，是剔除了物质的其它具体特性，仅仅从数与形的角度来研究整个世界的。数学的作用和地位，现在看来，概括起来可以有以下几条：
作为小学、中学到大学必修的重要课程，数学是人类必不可少的知识，这一点不会有人疑问。人类的许多发现就像过眼烟云，很多学科是从推翻前人的结论而建立新的理论的；
然而，古往今来数学的发展，不是后人摧毁前人的成果，而是每一代的数学家都在原有建筑的基础上，再添加一层新的建筑。因而，数学的结论往往具有永恒的意义。
欧几里得是二千多年以前的古希腊数学家，然而，以他命名的欧几里得几何至今还在发挥着重要的作用，其中的勾股定理，不仅没有被人认为老掉了牙而不屑一顾，相反还被人称为千古第一定理，一直被高度颂扬、反复应用，就充分地说明了这一点。
数学这种科学的语言，是十分精确的，同时，又是世界通用的。加减乘除，乘方开方，指数对数，微分积分，常数等等，这些数学语言和符号一开始虽然可能五花八门、各有千秋，但早已统一为一个固定的样式，世界各地通用，对我们的掌握和使用是十分方便的。
数学在人们的日常生活及生产中随时随地发挥着重要的作用，已经是有目共睹。在现代，数学作为现代化建设的重要武器，在很多重要的领域中更起着关键性、甚至决定性作用。
我们国家在两弹一星研制中的出色成就，凝聚了不少优秀数学家的心血，就是一个突出的例子。
现在，不仅在自然科学、技术科学中，而且在经济科学、管理科学，甚至人文、社会科学中，为了准确和定量地考虑问题，得到有充分根据的规律性认识，数学都成了必备的重要基础。
离开了数学的支撑，有关的科学已很难取得长足的进步，很多学科（特别是很多自然科学学科）近年来甚至已经出现了数学化的趋势。
数学忽略了物质的具体形态和属性，纯粹从数量关系和空间形式的角度来研究现实世界，它和哲学类似，具有超越具体学科、普遍适用的特征，对所有的学科都有指导性的意义。现在的数学科学已构成包括纯粹数学及应用数学内含的众多分支学科和许多新兴交叉学科的庞大的科学体系。
其实，中学里学习的数学，大体上属于初等数学的范畴，而大学本科所学的高等数学，是以牛顿、莱布尼茨在十七世纪创立的微积分为标志和起步的，到现在也已经有三百多年的历史了。数学远比我们已经看到的要丰富多彩，说数学的内涵博大精深，是一点也不过分的。
但是，数学愈发展，不是使事情变得愈来愈复杂，相反，处理问题会变得更简单，人们认识世界与改造世界的能力也愈来愈扩大，这会使我们愈学愈感到数学的魅力，愈学愈想学。
过去小学六年级的算术课，“鸡兔同笼”是一个顶级的难题，说是将一些鸡和兔放在一个笼子里，例如说，已知头数=10，足数=28，问鸡多少只？兔多少只？由于鸡只有两只脚，而兔有四只脚，问题就复杂了，而且算术课的要求是要一步写出答案来，那就难上加难。但到中学学了代数，只要设鸡为x只，兔为y只，根据题意列出一个二元一次联立方程式，一下子就可求得问题的解答，这是多么容易啊！
中学里学的平面几何，为了证明，要挖空心思画辅助线，实在是对智力的一个重大挑战与考验，但学习了解析几何，将代数与几何结合起来，过去绞尽脑汁才能求解的几何问题就一下子变得轻而易举了。
我在高中时，对如何用数学方法求半圆的重心这个问题曾经发生了兴趣，也为此花了不少的课余时间，结果是无功而返。后来听老师说这个问题只有用微积分才能解决，才知道世界上还有微积分这样一门威力无穷的学问，也更激发了我进一步学习数学的好奇心和动力。真正好的数学，是愈来愈深入、愈来愈简明、愈来愈有用的。
数学的思想和方法与高度发展的计算技术的结合的确已经形成了技术，而且是一种关键性的、可实现的技术，称为“数学技术”。在这种技术中起核心作用的部分是数学，拿走它就只剩下一堆废铜烂铁。
我们在医院里看到的CT这一先进的技术就是一个突出的例子。它的本质，是利用X光从各个不同角度所拍摄的众多平面照片，恢复出体内物体（如肿瘤）的立体形状，这完全是一个数学问题。
这样，数学的内涵物化为计算机的软件及硬件，就成为技术的一个重要组成部分与关键，从而可以直接地转化为生产力。现在，“高技术本质上是一种数学技术”的说法已为愈来愈多的人们所认同。
数学是人类文明的重要基础。它的产生和发展伴随着人类文明的进程，并在其中一直起着重要的推动作用，占有举足轻重的地位。因时间关系，下面仅举计数与进位这一个简单的例子来加以说明。
大家知道，数学开始于数数。原始人只能区分1与多，碰到3就觉得多了，三人为“众”大概就是这样来的。后来有了十进制，用1，2，3，4，5，6，7，8，9和0这十个数字，再加上逢十进一（以及一个小数点），就可以表示世界上任何一个数字。这是现在的人们从小就知道的事实，似乎是天经地义的。
然而，这却经历了一个漫长的历史进程，是数学给人类文明带来的一个不可磨灭的巨大贡献。没有了它，稍微大一些的数字就会使人晕头转向，更谈不上庞大的天文数字或是极其微小的数字了，现今金融行业或科学试验中种种复杂或高精度的数学运算根本不可能进行，我们还能有如此高度发达的文明社会吗？
这样的例子还可以举出很多，但就从这个例子已足以看出：数学过去是、现在是、将来也将是一种先进的文化，它带领着、推动着、影响着人类的文明进程，深刻地改变着世界的面貌，也改变着人类本身的思维能力和认识水平，改变着人类的本身。人类充分享受着数学文化的恩惠，但往往浑然不觉、习以为常，“身在福中不知福”。
古人说：“天不生仲尼，万古长如夜”。大家想一想，如果没有数学，没有数学的进步，人们可能还生活在愚昧之中，过着“长如夜”的生活，我们有什么理由不重视数学、不重视数学文化的引领和薰陶作用呢？
综上所述，长期以来，在人们认识世界和改造世界的过程中，数学作为一种精确的语言和一个有力的工具，一直发挥着举足轻重的作用。
数学教育看起来只是一种知识教育，但本质上是一种素质教育
另一方面，要搞清为什么要学习好数学，还要认识学好数学对一个人培养与成长的重要作用。
数学既然这么重要，那么，学习数学的目的就仅仅在于得到一大堆定理、公式和结论，懂得各种各样的数学方法和手段，会得求解各种各样的习题甚至难题吗？否！！！
数学是一门重思考与理解、重严格的训练、充满创造性的科学，只有掌握了数学的思想方法和精神实质，才能由不多的几个公式演绎出千变万化的生动结论，显示出无穷无尽的威力。
我们许多在实际工作中成功地应用了数学、取得相当突出成绩的校友都有这样的体会：在工作中真正需要用到的具体数学分支学科，具体的数学定理、公式和结论，其实并不一定很多，但他们所受的数学训练，所领会的数学思想和精神，所获得的数学教养，却无时无刻不在发挥着积极的作用，成为取得成功的最重要的因素。我认为，这是很值得引起大家重视的经验之谈。
实际上，通过认真的数学学习和严格的数学训练，可以使学生具备一些特有的素质和能力。这些素质和能力将伴随终生，始终发挥积极的作用。这些素质和能力例如说有：
1、自觉的数量观念。使人会认真注意事物的数量方面及其变化规律，而不是 “胸中无数”，凭感觉、“拍脑袋”做决定、办事情。
2、严密的逻辑思维能力。使人能保持思路清晰，有条不紊地处理头绪纷繁的各项工作。
3、高度的抽象思维能力。使人面对错综复杂的现象，能分清主次，抓住主要矛盾，突出事物的本质，有效地解决问题，而不会无所适从、一筹莫展。
4、数学上的推导要求每一个正负号、每一个小数点都不能含糊敷衍，有助于培养认真细致、一丝不苟的作风和习惯。
5、数学上追求的是最有用（广泛）的结论、最少的条件（代价）以及最简明的证明，通过严格的数学训练，会逐步形成精益求精、力求尽善尽美的习惯和风格。
6、关注数学的来龙去脉，知道数学概念、方法和理论的产生和发展的渊源和过程，会提高建立数学模型、运用数学知识处理现实世界中各种复杂问题的意识、信念和能力。
7、作为一种思想的体操和竞赛，数学会使人增强拼搏精神和应变能力，通过不断分析矛盾，从困难局面中理出头绪，最终解决问题。
8、数学的学习和思考，会为学生打开自由创造的广阔天地，激发他们的探索精神、创新意识及创新能力，使他们更加灵活和主动，聪明才智得到充分的表现和发挥，等等。
由此可见，数学教育看起来只是一种知识教育，但本质上是一种素质教育。
真正学好了数学，不管你将来从事哪行哪业，都会让人变得更聪明，更有智慧，更有竞争力，终生受用不尽。对我们广大的学生来说，也将是他们将来最值得回忆的、数学学习给他们带来最大恩惠的地方。当然，如果不学习数学，或者仅马马虎虎、敷衍了事地学了一些数学，是不能达到这一效果的，这无疑是“入宝山而空回”了。
在这方面，我还想对在座的女同学说几句话。近些年来，数学科学学院本科生及研究生中的女生均有相当高的比例。今年本科生中女生的比例比往年虽略有减少，但也超过了18%，而研究生中女生的比例则接近34%。女同学大多学习认真，成绩良好，其中的一部分也非常优秀，但有时可能会多少有些不够自信。
女同学到底能不能成为数学家呢？答案是肯定的。
历史上就不乏一些极为优秀的女数学家，比如法国的热尔曼、俄国的柯瓦列夫斯卡娅及德国的诺特，她们在妇女没有受教育基本权利的时代，尚且做出了杰出的贡献......别人能做到的，我们通过自己的努力和付出，一定也能够做到！中国科学院唯一一位女数学院士胡和生教授就在我们数学科学学院，她已经为我们树立了榜样，我们更应该加倍努力。
总之，对所有的同学来说，树立一个崇高的奋斗目标，努力学好数学，尽可能学得出类拔萃，不仅是现阶段对你们的学习要求，也是对你们未来发展的战略性投资，是终生受用不尽的。
来源：院士教授博导500智库
数学年谱
来源：《算法与数学之美》
约公元前4000年，中国西安半坡的陶器上出现数字刻符。
公元前3000～前1700年，巴比伦的泥版上出现数学记载。
公元前2700年，中国黄帝时代传说隶首做算数之说，大挠发明了甲子。
公元前2500年前，据中国战国时尸佼著《尸子》记载：“古者，陲(注：传说为黄帝或尧时人)为规、矩、准、绳，使天下仿焉”。这相当于在已有“圆，方、平、直”等形的概念。
公元前2100年，中国夏朝出现象征吉祥的河图洛书纵横图，即为“九宫算”，这被认为是现代“组合数学”最古老的发现。
美索不达米亚人已有了乘法表，其中使用着六十进位制的算法。
公元前1900～前1600，古埃及的纸草书上出现数学记载，已有基于十进制的记数法，将乘法简化为加法的算术、分数计算法。并已有三角形及圆的面积、正方角锥体、锥台体积的度量法等。
公元前1950年，巴比伦人能解二个变数的一次和二次方程，已经知道“勾股定理”。
公元前1400年，中国殷代甲骨文卜辞记录已有十进制记数，最大数字是三万。
公元前1050年，在中国的西周时期，“九数”成为“国子”的必修课程之一。
公元前六世纪，古希腊的泰勒斯发展了初等几何学，开始证明几何命题。
古希腊毕达哥拉斯学派认为数是万物的本原，宇宙的组织是数及其关系的和谐体系。证明了勾股定理，发现了无理数，引起了所谓第一次数学危机。
印度人求出
公元前462年左右，意大利的埃利亚学派的芝诺等人指出了在运动和变化中的各种矛盾，提出了飞矢不动等有关时间、空间和数的芝诺悖理(古希腊 巴门尼德、芝诺等)。
公元前五世纪，古希腊丘斯的希波克拉底研究了以直线及圆弧形所围成的平面图形的面积，指出相似弓形的面积与其弦的平方成正比。开始把几何命题按科学方式排列。
公元前四世纪，古希腊的欧多克斯把比例论推广到不可通约量上，发现了“穷竭法”。开始在数学上作出以公理为依据的演绎整理。
古希腊德谟克利特学派用“原子法”计算面积和体积，一个线段、一个面积或一个体积被设想为由很多不可分的“原子”所组成。提出圆锥曲线，得到了三次方程式的最古老的解法。
古希腊的亚里士多德等建立了亚里士多德学派，开始对数学、动物学等进行了综合的研究。
公元前400年，中国战国时期的《墨经》中记载了一些几何学的义理。
公元前380年，古希腊柏拉图学派指出数学对训练思维的作用，研究正多面体、不可公度量。
公元前350年，古希腊梅纳克莫斯发现三种圆锥曲线，并用以解立方体问题。古希腊色诺科拉底开始编写几何学的历史。古希腊的塞马力达斯开始世界简单方程组
公元前335年，古希腊的欧德姆斯开始编写数学史。
公元前三世纪，古希腊欧几里得的《几何学原本》十三卷发表，把前人和他本人的发现系统化，确立几何学的逻辑体系，为世界上最早的公理化数学著作。
公元前三世纪，古希腊的阿基米德研究了曲线图形和曲面体所围成的面积、体积；研究了抛物面、双曲面、椭圆面，讨论了圆柱、圆锥和半球之关系，还研究了螺线。
战国时期的中国，筹算成为当时的主要计算方法；出现《庄子》、《考工记》记载中的极限概念、分数运算法、特殊角度概念及对策论的例证。
元前230年，古希腊的埃拉托色尼提出素数概念，并发明了寻找素数的筛法。
公元前三至前二世纪，古希腊的阿波罗尼发表了八本《圆锥曲线学》，这是最早关于椭圆、抛物线和双曲线的论著。
公元前170年，湖北出现竹简算书《算数书》。
公元前150年，古希腊的希帕恰斯开始研究球面三角，奠定三角术的基础。
约公元前一世纪，中国的《周髀算经》发表。其中阐述了“盖天说”和四分历法，使用分数算法和开方法等。
公元50～100年，继西汉张苍、耿寿昌删补校订之后，东汉时纂编成《九章算术》，这是中国最早的数学专著，收集了246个问题的解法。
公元75年，古希腊的海伦研究面积、体积计算方法、开方法，提出海伦公式。
一世纪左右，古希腊的梅内劳发表《球学》，其中包括球的几何学，并附有球面三角形的讨论。
古希腊的希隆写了关于几何学的、计算的和力学科目的百科全书。在其中的《度量论》中，以几何形式推算出三角形面积的“希隆公式”。
100年左右，古希腊的尼寇马克写了《算术引论》一书，此后算术开始成为独立学科。
150年左右，古希腊的托勒密著《数学汇编》，求出圆周率为3.14166，并提出透视投影法与球面上经纬度的讨论，这是古代坐标的示例。
三世纪时，古希腊的丢番都写成代数著作《算术》共十三卷，其中六卷保留至今，解出了许多定和不定方程式。
三世纪至四世纪，魏晋时期，中国的赵爽在《勾股圆方图注》中列出了关于直角三角形三边之间关系的命题共21条。
中国的刘徽发明“割圆术”，并算得圆周率为3.1416；著《海岛算经》，论述了有关测量和计算海岛的距离、高度的方法。
四世纪时，古希腊帕普斯的几何学著作《数学集成》问世，这是古希腊数学研究的手册。
约463年，中国的祖冲之算出了圆周率的近似值到第七位小数，这比西方早了一千多年。
466年～485年，中国三国时期的《张邱建算经》成书。
五世纪，印度的阿耶波多著书研究数学和天文学，其中讨论了一次不定方程式的解法、度量术和三角学等，并作正弦表。
550年，中国南北朝的甄鸾撰《五草算经》、《五经算经》、《算术记遗》。
六世纪，中国六朝时，中国的祖(日恒)提出祖氏定律：若二立体等高处的截面积相等，则二者体积相等。西方直到十七世纪才发现同一定律，称为卡瓦列利原理。
隋代《皇极历法》内，已用“内插法”来计算日、月的正确位置(中国 刘焯)。
620年，中国唐朝的王孝通著《辑古算经》，解决了大规模土方工程中提出的三次方程求正根的问题。
628年，印度的婆罗摩笈多研究了定方程和不定方程、四边形、圆周率、梯形和序列。给出了方程ax+by=c(a，b，c是整数)的第一个一般解。
656年，中国唐代李淳风等奉旨著《“十部算经”注释》，作为国子监算学馆的课本。“十部算经”指：《周髀》《九章算术》《海岛算经》《张邱建算经》《五经算术》等。
727年，中国唐朝开元年间，僧一行编成《大衍历》，建立了不等距的内插公式。
820年，阿拉伯的阿尔·花刺子模发表了《印度计数算法》，使西欧熟悉了十进位制。
850年，印度的摩珂毗罗提出岭的运算法则。
约920年，阿拉伯的阿尔·巴塔尼提出正切和余切概念，造出从0º到90º的余切表，用sine标记正弦，证明了正弦定理。
1000～1019年，中国北宋的刘益著《议古根源》，提出了“正负开方术”。
1050年，中国宋朝的贾宪在《黄帝九章算术细草》中，创造了开任意高次幂的“增乘开方法”，并列出了二项式定理系数表，这是现代“组合数学”的早期发现。后人所称的“杨辉三角”即指此法。
1086～1093年，中国宋朝的沈括在《梦溪笔谈》中提出“隙积术”和“会圆术”，开始高阶等差级数的研究。
1079年，阿拉伯的卡牙姆完成了一部系统研究三次方程的书《代数学》，用圆锥曲线解三次方程。
十一世纪，阿拉伯的阿尔·卡尔希第一次解出了二次方程的根。
十一世纪，埃及的阿尔·海赛姆解决了“海赛姆”问题，即要在圆的平面上两点作两条线相交于圆周上一点，并与在该点的法线成等角。
十二世纪，印度的拜斯迦罗著《立刺瓦提》一书，这是东方算术和计算方面的重要著作。
1202年，意大利的裴波那契发表《计算之书》，把印度—阿拉伯记数法介绍到西方。
1220年，意大利的裴波那契发表《几何学实习》一书，介绍了许多阿拉伯资料中没有的示例。
1247年，中国宋朝的秦九韶著《数书九章》共十八卷，推广了“增乘开方法”。书中提出的联立一次同余式的解法，比西方早五百七十余年。
1248年，中国宋朝的李治著《测圆海镜》十二卷，这是第一部系统论述“天元术”的著作。
1261年，中国宋朝的杨辉著《详解九章算法》，用“垛积术”求出几类高阶等差级数之和。
1274年，中国宋朝的杨辉发表《乘除通变本末》，叙述“九归”捷法，介绍了筹算乘除的各种运算法。
1280年，元朝《授时历》用招差法编制日月的方位表(中国 王恂、郭守敬等)。
十四世纪中叶前，中国开始应用珠算盘，并逐渐代替了筹算。
1303年，中国元朝的朱世杰著《四元玉鉴》三卷，把“天元术”推广为“四元术”。
1464年，德国的约·米勒在《论各种三角形》(1533年出版)中，系统地总结了三角学。
1489年，德国的魏德曼用“+”、“-”表示正负。
1494年，意大利的帕奇欧里发表《算术集成》，反映了当时所知道的关于算术、代数和三角学的知识。
1514年，荷兰的贺伊克用“+”、“-”作为加减运算的符号。
1535年，意大利的塔塔利亚发现三次方程的解法。
1540年，英国的雷科德用“=”表示相等。
1545年，意大利的卡尔达诺、费尔诺在《大法》中发表了求三次方程一般代数解的公式。
1550～1572年，意大利的邦别利出版《代数学》，其中引入了虚数，完全解决了三次方程的代数解问题。
1585年，荷兰的斯蒂文提出分数指数概念与符号；系统导入了十进制分数与十进制小数的意义、计算法及表示法。
1591年左右，德国的韦达在《美妙的代数》中首次使用字母表示数字系数的一般符号，推进了代数问题的一般讨论。
1596年，德国的雷蒂卡斯从直角三角形的边角关系上定义了6个三角函数。
1596～1613年，德国的奥脱、皮提斯库斯完成了六个三角函数的每间隔10秒的十五位小数表。
1614年，英国的耐普尔制定了对数，做出第一张对数表，只做出圆形计算尺、计算棒。
1615年，德国的开卜勒发表《酒桶的立体几何学》，研究了圆锥曲线旋转体的体积。
1635年，意大利的卡瓦列利发表《不可分连续量的几何学》，书中避免无穷小量，用不可分量制定了一种简单形式的微积分。
1637年，法国的笛卡尔出版《几何学》，提出了解析几何，把变量引进数学，成为“数学中的转折点”。
1638年，法国的费尔玛开始用微分法求极大、极小问题。
意大利的伽里略发表《关于两种新科学的数学证明的论说》，研究距离、速度和加速度之间的关系，提出了无穷集合的概念，这本书被认为是伽里略重要的科学成就。
1639年，法国的迪沙格发表了《企图研究圆锥和平面的相交所发生的事的草案》，这是近世射影几何学的早期工作。
1641年，法国的帕斯卡发现关于圆锥内接六边形的“帕斯卡定理”。
1649年，法国的帕斯卡制成帕斯卡计算器，它是近代计算机的先驱。
1654年，法国的帕斯卡、费尔玛研究了概率论的基础。
1655年，英国的瓦里斯出版《无穷算术》一书，第一次把代数学扩展到分析学。
1657年，荷兰的惠更斯发表了关于概率论的早期论文《论机会游戏的演算》。
1658年，法国的帕斯卡出版《摆线通论》，对“摆线”进行了充分的研究。
1665～1676年，牛顿(1665～1666年)先于莱布尼茨(1673～1676年)制定了微积分，莱布尼茨(1684～1686年)早于牛顿(1704～1736年)发表了微积分。
1669年，英国的牛顿、雷夫逊发明解非线性方程的牛顿—雷夫逊方法。
1670年，法国的费尔玛提出“费尔玛大定理”。
1673年，荷兰的惠更斯发表了《摆动的时钟》，其中研究了平面曲线的渐屈线和渐伸线。
1684年，德国的莱布尼茨发表了关于微分法的著作《关于极大极小以及切线的新方法》。
1686年，德国的莱布尼茨发表了关于积分法的著作。
1691年，瑞士的约·贝努利出版《微分学初步》，这促进了微积分在物理学和力学上的应用及研究。
1696年，法国的洛比达发明求不定式极限的“洛比达法则”。
1697年，瑞士的约·贝努利解决了一些变分问题，发现最速下降线和测地线。
1704年，英国的牛顿发表《三次曲线枚举》《利用无穷级数求曲线的面积和长度》《流数法》。
1711年，英国的牛顿发表《使用级数、流数等等的分析》。
1713年，瑞士的雅·贝努利出版了概率论的第一本著作《猜度术》。
1715年，英国的布·泰勒发表《增量方法及其他》。
1731年，法国的克雷洛出版《关于双重曲率的曲线的研究》，这是研究空间解析几何和微分几何的最初尝试。
1733年，英国的德·勒哈佛尔发现正态概率曲线。
1734年，英国的贝克莱发表《分析学者》，副标题是《致不信神的数学家》，攻击牛顿的《流数法》，引起所谓第二次数学危机。
1736年，英国的牛顿发表《流数法和无穷级数》。
1736年，瑞士的欧拉出版《力学、或解析地叙述运动的理论》，这是用分析方法发展牛顿的质点动力学的第一本著作。
1742年，英国的麦克劳林引进了函数的幂级数展开法。
1744年，瑞士的欧拉导出了变分法的欧拉方程，发现某些极小曲面。
1747年，法国的达朗贝尔等由弦振动的研究而开创偏微分方程论。
1748年，瑞士的欧拉出版了系统研究分析数学的《无穷分析概要》，这是欧拉的主要著作之一。
1755～1774年，瑞士的欧拉出版了《微分学》和《积分学》三卷。书中包括微分方程论和一些特殊的函数。
1760～1761年，法国的拉格朗日系统地研究了变分法及其在力学上的应用。
1767年，法国的拉格朗日发现分离代数方程实根的方法和求其近似值的方法。
1770～1771年，法国的拉格朗日把置换群用于代数方程式求解，这是群论的开始。
1772年，法国的拉格朗日给出三体问题最初的特解。
1788年，法国的拉格朗日出版了《解析力学》，把新发展的解析法应用于质点、刚体力学。
1794年，法国的勒让德出版流传很广的初等几何学课本《几何学概要》。
德国的高斯从研究测量误差，提出最小二乘法，于1809年发表。
1797年，法国的拉格朗日发表《解析函数论》，不用极限的概念而用代数方法建立微分学。
1799年，法国的蒙日创立画法几何学，在工程技术中应用颇多。
德国的高斯证明了代数学的一个基本定理：实系数代数方程必有根。
1801年，德国的高斯出版《算术研究》，开创近代数论。
1809年，法国的蒙日出版了微分几何学的第一本书《分析在几何学上的应用》。
1812年，法国的拉普拉斯出版《分析概率论》一书，这是近代概率论的先驱。
1816年，德国的高斯发现非欧几何，但未发表。
1821年，法国的柯西出版《分析教程》，用极限严格地定义了函数的连续、导数和积分，研究了无穷级数的收敛性等。
1822年，法国的彭色列系统研究了几何图形在投影变换下的不变性质，建立了射影几何学。
法国的傅立叶研究了热传导问题，发明用傅立叶级数求解偏微分方程的边值问题，在理论和应用上都有重大影响。
1824年，挪威的阿贝尔证明用根式求解五次方程的不可能性。
1826年，挪威的阿贝尔发现连续函数的级数之和并非连续函数。
俄国的罗巴切夫斯基和匈牙利的波约改变欧几里得几何学中的平行公理，提出非欧几何学的理论。
1827～1829年，德国的雅可比、挪威的阿贝尔和法国的勒阿德尔共同确立了椭圆积分与椭圆函数的理论，在物理、力学中都有应用。
1827年，德国的高斯建立了微分几何中关于曲面的系统理论。
德国的莫比乌斯出版《重心演算》，第一次引进齐次坐标。
1830年，捷克的波尔查诺给出一个连续而没有导数的所谓“病态”函数的例子。
法国的伽罗华在代数方程可否用根式求解的研究中建立群论。
1831年，法国的柯西发现解析函数的幂级数收敛定理。
德国的高斯建立了复数的代数学，用平面上的点来表示复数，破除了复数的神秘性。
1835年，法国的斯特姆提出确定代数方程式实根位置的方法。
1836年，法国的柯西证明解析系数微分方程解的存在性。
瑞士的史坦纳证明具有已知周长的一切封闭曲线中包围最大面积的图形一定是圆。
1837年，德国的狄利克莱第一次给出了三角级数的一个收敛性定理。
1840年，德国的狄利克莱把解析函数用于数论，并且引入了“狄利克莱”级数。
1841年，德国的雅可比建立了行列式的系统理论。
1844年，德国的格拉斯曼研究多个变元的代数系统，首次提出多维空间的概念。
1846年，德国的雅克比提出求实对称矩阵特征值的雅可比方法。
1847年，英国的布尔创立了布尔代数，在后来的电子计算机设计有重要应用。
1848年，德国的库莫尔研究各种数域中的因子分解问题，引进了理想数。
英国的斯托克斯发现函数极限的一个重要概念——一致收敛，但未能严格表述。
1850年，德国的黎曼给出了“黎曼积分”的定义，提出函数可积的概念。
1851年，德国的黎曼提出共形映照的原理，在力学、工程技术中应用颇多，但未给出证明。
1854年，德国的黎曼建立了更广泛的一类非欧几何学——黎曼几何学，并提出多维拓扑流形的概念。
俄国的车比雪夫开始建立函数逼近论，利用初等函数来逼近复杂的函数。二十世纪以来，由于电子计算机的应用，使函数逼近论有很大的发展。
1856年，德国的维尔斯特拉斯确立极限理论中的一致收敛性的概念。
1857年，德国的黎曼详细地讨论了黎曼面，把多值函数看成黎曼面上的单值函数。
1868年，德国的普吕克在解析几何中引进一些新的概念，提出可以用直线、平面等作为基本的空间元素。
1870年，挪威的李发现李群，并用以讨论微分方程的求积问题。
德国的克朗尼格给出了群论的公理结构，这是后来研究抽象群的出发点。
1872年，数学分析的“算术化”，即以有理数的集合来定义实数(德国 戴特金、康托尔、维尔斯特拉斯)。
德国的克莱茵发表了“埃尔朗根纲领”，把每一种几何学都看成是一种特殊变换群的不变量论。
1873年，法国的埃尔米特证明了e是超越数。
1876年，德国的维尔斯特拉斯出版《解析函数论》，把复变函数论建立在了幂级数的基础上。
1881～1884年，美国的吉布斯制定了向量分析。
1881～1886年，法国的彭加勒连续发表《微分方程所确定的积分曲线》的论文，开创微分方程定性理论。
1882年，德国的林德曼证明了圆周率是超越数。
英国的亥维赛制定运算微积，这是求解某些微分方程的简便方法，工程上常有应用。
1883年，德国的康托尔建立了集合论，发展了超穷基数的理论。
1884年，德国的弗莱格出版《数论的基础》，这是数理逻辑中量词理论的发端。
1887～1896年，德国的达布尔出版了四卷《曲面的一般理论的讲义》，总结了一个世纪来关于曲线和曲面的微分几何学的成就。
1892年，俄国的李雅普诺夫建立运动稳定性理论，这是微分方程定性理论研究的重要方面。
1892～1899年，法国的彭加勒创立自守函数论。
1895年，法国的彭加勒提出同调的概念，开创代数拓扑学。
1899年，德国希尔伯特的《几何学基础》出版，提出欧几里得几何学的严格公理系统，对数学的公理化思潮有很大影响。
瑞利等人最早提出基于统计概念的计算方法——蒙特卡诺方法的思想。二十世纪二十年代柯朗(德)、冯·诺伊曼(美)等人发展了这个方法，后在电子计算机上获得广泛应用。
1900年
德国数学家希尔伯特，提出数学尚未解决的23个问题，引起了20世纪许多数学家的关注。
1901年
德国数学家希尔伯特，严格证明了狄利克莱原理，开创了变分学的直接方法，在工程技术的级拴问题中有很多应用。
德国数学家舒尔、弗洛伯纽斯，首先提出群的表示理论。此后，各种群的表示理论得到大量研究。
意大利数学家里齐、齐维塔，基本上完成张量分析，又名绝对微分学。确立了研究黎曼几何和相对论的分析工具。
法国数学家勒贝格，提出勒贝格测度和勒贝格积分，推广了长度、面积积分的概念。
1903年
英国数学家贝·罗素，发现集合论中的罗素悖论，引发第三次数学危机。
瑞典数学家弗列特荷姆，建立线性积分方程的基本理论，是解决数学物理问题的数学工具，并为建立泛函分析作出了准备。
1906年
意大利数学家赛维里，总结了古典代数几何学的研究。
法国数学家弗勒锡、匈牙利数学家里斯，把由函数组成的无限集合作为研究对象，引入函数空间的概念，并开始形成希尔伯特空间。这是泛函分析的发源。
德国数学家哈尔托格斯，开始系统研究多个自变量的复变函数理论。
俄国数学家马尔可夫，首次提出“马尔可夫链”的数学模型。
1907年
德国数学家寇贝，证明复变函数论的一个基本原理——黎曼共形映照定理。
美籍荷兰数学家布劳威尔，反对在数学中使用排中律，提出直观主义数学。
1908年
德国数学家金弗里斯，建立点集拓扑学。
德国数学家策麦罗，提出集合论的公理化系统。
1909年
德国数学家希尔伯特，解决了数论中著名的华林问题。
1910年
德国数学家施坦尼茨，总结了19世纪末20世纪初的各种代数系统，如群、代数、域等的研究，开创了现代抽象代数。
美籍荷兰数学家路·布劳威尔，发现不动点原理，后来又发现了维数定理、单纯形逼近法、使代数拓扑成为系统理论。
英国数学家背·罗素、卡·施瓦兹西德，出版《数学原理》三卷，企图把数学归纳到形式逻辑中去，是现代逻辑主义的代表著作。
1913年
法国的厄·加当和德国的韦耳完成了半单纯李代数有限维表示理论，奠定了李群表示理论的基础。这在量子力学和基本粒子理论中有重要应用。
德国的韦耳研究黎曼面，初步产生了复流形的概念。
1914年
德国的豪斯道夫提出拓扑空间的公理系统，为一般拓扑学建立了基础。
1915年
瑞士美籍德国人爱因斯坦和德国的卡·施瓦茨西德把黎曼几何用于广义相对论，解出球对称的场方程，从而可以计算水星近日点的移动等问题。
1918年
英国的哈台、立笃武特应用复变函数论方法来研究数论，建立解析数论。
丹麦的爱尔兰为改进自动电话交换台的设计，提出排队论的数学理论。
希尔伯特空间理论的形成(匈牙利 里斯)。
1919年
德国的亨赛尔建立P-adic数论，这在代数数论和代数几何中有重要用。
1922年
德国的希尔伯特提出数学要彻底形式化的主张，创立数学基础中的形式主义体系和证明论。
1923年
法国的厄·加当提出一般联络的微分几何学，将克莱因和黎曼的几何学观点统一起来，是纤维丛概念的发端。
法国的阿达玛提出偏微分方程适定性，解决二阶双曲型方程的柯西问题。
波兰的巴拿哈提出更广泛的一类函数空间——巴拿哈空间的理论。
美国的诺·维纳提出无限维空间的一种测度——维纳测度，这对概率论和泛函分析有一定作用。
1925年
丹麦的哈·波尔创立概周期函数。
英国的费希尔以生物、医学试验为背景，开创了“试验设计”(数理统计的一个分支)，也确立了统计推断的基本方法。
1926年
德国的纳脱大体上完成对近世代数有重大影响的理想理论。
1927年
美国的毕尔霍夫建立动力系统的系统理论，这是微分方程定性理论的一个重要方面。
1928年
美籍德国人 理·柯朗提出解偏微分方程的差分方法。
美国的哈特莱首次提出通信中的信息量概念。
德国的格罗许、芬兰的阿尔福斯、苏联的拉甫连捷夫提出拟似共形映照理论，这在工程技术上有一定应用。
1930年
美国的毕尔霍夫建立格论，这是代数学的重要分支，对射影几何、点集论及泛函分析都有应用。
美籍匈牙利人冯·诺伊曼提出自伴算子谱分析理论并应用于量子力学。
1931年
瑞士的德拉姆发现多维流形上的微分型和流形的上同调性质的关系，给拓扑学以分析工具。
奥地利的哥德尔证明了公理化数学体系的不完备性。
苏联的柯尔莫哥洛夫和美国的费勒发展了马尔可夫过程理论。
1932年
法国的亨·嘉当解决多元复变函数论的一些基本问题。
美国的毕尔霍夫、美籍匈牙利人冯·诺伊曼建立各态历经的数学理论。
法国的赫尔勃兰特、奥地利的哥德尔、美国的克林建立递归函数理论，这是数理逻辑的一个分支，在自动机和算法语言中有重要应用。
1933年
匈牙利的奥·哈尔提出拓扑群的不变测度概念。
苏联的柯尔莫哥洛夫提出概率论的公理化体系。
美国的诺·维纳、丕莱制订复平面上的傅立叶变式理论。
1934年
美国的莫尔斯创建大范围变分学的理论，为微分几何和微分拓扑提供了有效工具。
美国的道格拉斯等解决极小曲面的基本问题——普拉多问题，即求通过给定边界而面积为最小的曲面。
苏联的辛钦提出平稳过程理论。
1935年
波兰的霍勒维奇等在拓扑学中引入同伦群，成为代数拓扑和微分拓扑的重要工具。
法国的龚贝尔开始研究产品使用寿命和可靠性的数学理论。
1936年
德国寇尼克系统地提出与研究图的理论，美国的贝尔治等对图的理论有很大的发展。50年代以后，由于在博弈论、规划论、信息论等方面的发展，而得到广泛应用。
现代的代数几何学开始形成。(荷兰 范德凡尔登，法国外耳，美国查里斯基，意大利 培·塞格勒等)。
英国的图灵、美国的邱吉、克林等提出理想的通用计算机概念，同时建立了算法理论。
美籍匈牙利人 冯·诺伊曼建立算子环论，可以表达量子场论数学理论中的一些概念。
苏联的索波列夫提出偏微分方程中的泛函分析方法。
1937年
美国的怀特尼证明微分流形的嵌入定理，这是微分拓扑学的创始。
苏联的彼得洛夫斯基提出偏微分方程组的分类法，得出某些基本性质。
瑞士的克拉默开始系统研究随机过程的统计理论。
1938年
布尔巴基丛书《数学原本》开始出版，企图从数学公理结构出发，以非常抽象的方式叙述全部现代数学(法国 布尔巴基学派)。
1940年
美国的哥德尔证明连续统假说在集合论公理系中的无矛盾性。
英国的绍司威尔提出求数值解的松弛方法。
苏联的盖尔方特提出交换群调和分析的理论。
1941年
美国的霍奇定义了流形上的调和积分，并用于代数流形，成为研究流形同调性质的分析工具。
苏联的谢·伯恩斯坦、日本的伊藤清开始建立马尔可夫过程与随机微分方程的联系。
苏联的盖尔芳特创立赋范环理论，主要用于群上调和分析和算子环论。
1942年
美国的诺·维纳、苏联的柯尔莫哥洛夫开始研究随机过程的预测，滤过理论及其在火炮自动控制上的应用，由此产生了“统计动力学’。
1943年
中国的林士谔提出求代数方程数字解的林士谔方法。
1944年
美籍匈牙利人冯·诺伊曼等建立了对策论，即博弈论。
1945年
法国的许瓦茨推广了古典函数概念，创立广义函数论，对微分方程理论和泛函分析有重要作用。
美籍华人陈省身建立代数拓扑和微分几何的联系，推进了整体几何学的发展。
1946年
美国莫尔电子工程学校和宾夕法尼亚大学试制成功第一台电子计算机ENIAC。(设计者为埃克特、莫希莱等人)。
法国的外耳建立现代代数几何学基础。
中国的华罗庚发展了三角和法研究解析数论。
苏联的盖尔芳特、诺依玛克建立罗伦兹群的表示理论。
1947年
美国的埃·瓦尔特创立统计的序贯分析法。
1948年
英国的阿希贝造出稳态机，能在各种变化的外界条件下自行组织，以达到稳定状态。鼓吹这是人造大脑的最初雏型、机器能超过人等观点。
美国的诺·维纳出版《控制论》，首次使用控制论一词。
美国的申农提出通信的数学理论。
美籍德国人弗里得里希斯、理·柯朗总结了非线性微分方程在流体力学方面的应用，推进了这方面的研究。
波兰的爱伦伯克、美国的桑·麦克伦提出范畴论，这是代数中一种抽象的理论，企图将数学统—于某些原理。
苏联的康脱洛维奇将泛函分析用于计算数学。
1949年
开始确立电子管计算机体系，通称第一代计算机。英国剑桥大学制成第一台通用电子管计算机EDSAC。
1950年
英国的图灵发表《计算机和智力》一文，提出机器能思维的观点。
美国的埃·瓦尔特提出统计决策函数的理论。
英国的大·杨提出解椭圆型方程的超松弛方法，这是目前电子计算机上常用的方法。
美国的斯丁路特、美籍华人陈省身、法国的艾勒斯曼共同提出纤维丛的理论。
1951年
五十年代以来，“组合数学”获得迅速发展，并应用于试验设计、规划理论、网络理论、信息编码等。(美国 霍夫曼，马·霍尔等)
1952年
美国的蒙哥马利等证明连续群的解析性定理(即希尔伯特第五问题)。
1953年
美国的基费等提出优选法，并先后发展了多种求函数极值的方法。
1955年
制定同调代数理论(法国 亨·加当、格洛辛狄克，波兰 爱伦伯克)。
美国的隆姆贝格提出求数值积分的隆姆贝方法，这是目前电子计算机上常用的一种方法。
瑞典的荷尔蒙特等制定线性偏微分算子的一般理论。
美国的拉斯福特等提出解椭圆形或双线型偏微分方程的交替方向法。
英国的罗思解决了代数数的有理迫近问题。
1956年
提出统筹方法(又名计划评审法)，是一种安排计划和组织生产的数学方法。美国杜邦公司首先采用。
英国的邓济希等提出线性规划的单纯形方法。
苏联的道洛尼钦提出解双曲型和混合型方程的积分关系法。
1957年
发现最优控制的变分原理(苏联 庞特里雅金)。
美国的贝尔曼创立动态规划理论，它是使整个生产过程达到预期最佳目的的一种数学方法。
美国的罗森伯拉特等以美国康纳尔实验室的“感知器”的研究为代表，开始迅速发展图象识别理论。
1958年
创立算法语言ALGOL(58)，后经改进又提出ALGOL(60)，ALGOL(68)等算法语言，用于电子计算机程序自动化。(欧洲GAMM小组，美国ACM小组)
中国科学院计算技术研究所试制成功中国第一台通用电子计算机。
1959年
美国国际商业机器公司制成第一台晶体管计算机“IBM 7090”，第二代计算机——半导体晶体管计算机开始迅速发展。
1959～1960年，伽罗华域论在编码问题上的应用，发明 BCH码。(法国 霍昆亥姆，美国 儿·玻色，印度 雷·可都利)
1960年
美国的卡尔门提出数字滤波理论，进一步发展了随机过程在制导系统中的应用。
苏联的克雷因、美国的顿弗特建立非自共轭算子的系统理论.
工业互联网操作系统
产业智能官 AI-CPS
用“人工智能赛博物理操作系统”（新一代技术+商业工业互联网操作系统“AI-CPS OS”：云计算+大数据+物联网+区块链+人工智能），在场景中构建状态感知-实时分析-自主决策-精准执行-学习提升的认知计算和机器智能；实现产业转型升级、DT驱动业务、价值创新创造的产业互联生态链。
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