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对数学感兴趣的学生,他们寻求洞察“这门学科的本质”,他们为了发现这门学科的真正意义而广泛阅读,可能会产生一种合理的印象,那就是严肃的数学是一门严肃的、但遥远的山脉,只有那些献身于探索的人才能到达。他们可能会得出这样的结论:初学者只能通过难以跨越的距离来欣赏它的粗略轮廓。最好的受欢迎者有时能传达出更多的信息——包括最近发展背后的人类故事,以及不同分支和结果以意想不到的方式相互作用的方式;但是,数学的本质仍然是难以捉摸的,他们所描绘的图景不可避免地是一个宽泛的画笔,代替了生活中的数学细节。

这本书采用了不同的方法。我们首先观察到,数学不是一个固定的实体——就像人们可能无意识地从“严峻的山脉”的比喻中推断出来的那样。数学是一个精神世界,是我们集体想象中的一个未完成的工作,它会随着时间急剧增长,其最终范围似乎是不受约束的——没有任何明显的限制。当应用于小细节时,这种无限性也起着相反的作用:我们认为我们已经理解的特征被反复填充或重新解释,以新的方式揭示出越来越精细的微观结构。

我们试图在这些问题中抓住的“数学的本质”大多是隐含的,因此往往留给读者去提取。有时,强调某一特定问题的某些方面或其解决方案似乎是适当的。一些这类评论已经包含在文本中,穿插在问题之间。但在很多情况下,只有在读者努力为自己解决问题后,才能欣赏需要发表的评论或观察。在这种情况下,将观察结果放在正文中可能会有过早泄露秘密的风险。因此,许多重要的观察结果隐藏在解决方案中,或者在许多解决方案后面的注释中。更经常的是,我们选择不作明确的评论,而只是试图以这样一种方式来塑造和归类问题,使问题本身能够无声地传达所要传达的信息。

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