北京大学《代数学方法卷一：基础架构》，443页pdf开放书

2021 年 4 月 24 日 专知

本书不求建立一套自足的或者界限分明的体系, 何况按科研的普遍经验, 如一味要求万事具备才敢开疆拓土, 结果往往是一事无成, 代数相关领域尤其如此. 阅读过程中难免会遇上新的或未夯实的知识点, “引而伸之, 触类而长之” 兴许是更合适的态度. 即便如此, 在此仍有必要描绘一条模糊的底线. 保守估计, 本书期望读者对大学数学专业低年级课程有充分的掌握. 如果还修习过一学期的本科代数课程, 譬如 [59] 的前半部或 [55], 就应当能顺利理解本书大部分的内容, 但这不是必需的. 至于具体情形自然得具体分析, 既系于读者个人的学思经历, 也和胆识有关.

第一章: 集合论 读者对集合应有基本的了解. 本书以集合论居首, 一则是尊重体系的严整性, 二则是完整说明基数和 Zorn 引理的来龙去脉. 最后介绍的 Grothendieck 宇宙是应用范畴论时的必要安全措施. 大基数理论对一些高阶的范畴论构造实属必需, 我们希望在日后探讨同调代数时予以阐明.

第二章: 范畴论基础 本章完整介绍范畴论的基础概念, 以范畴, 函子与自然变换为中心, 着重探讨极限与可表性. 为了说明这些观念是自然的, 我们将自数学各领域中博引例证.

第三章: 幺半范畴 这是带有某种乘法操作的范畴. 幺半范畴在实践与理论两面占据要津, 因为它一方面是向量空间张量积的提纯, 同时又能用来定义范畴的 “充实” 化, 例如实用中常见的加性范畴. 前三章主要在观念或体系上占据首位, 实际阅读时不必循序. 建议初学者先迅速浏览, 并在后续章节中逐渐认识这些内容的必要性, 回头加以巩固. 毋须在初次阅读时就强求逐字逐句地理解: 这不是唯一的方法, 也不是最好的方法.

第四章: 群论 对幺半群和群的基本理论予以较完整的说明, 包括自由群的构造, 也一并介绍群的完备化. 后者自然地引向 pro-有限群的概念, 这是一类可以用拓扑语汇来包装的群论结构, 它对于 p-进数, 赋值和无穷 Galois 理论的研讨是必需的.

第五章: 环论初步 考虑到后续内容的需要, 此章也涉及完备化及对称多项式的初步理论. 之所以称为初步, 是为了区别于交换环论 (又称交换代数) 与非交换环的进阶研究, 这些将在后续著作予以探讨.

第六章: 模论 此章触及模论的基本内容, 包括张量积. 向量空间和交换群则视作模的特例. 我们还会初步探讨复形, 正合列与同调群的观念. 系统性的研究则是同调代数的任务. 关于半单模, 不可分模与合成列的内容可以算是后续著作的铺垫.

第七章: 代数初步 这里所谓的 “代数” 是构筑在模上的一种乘法结构, 虽然易生混淆, 此词的使用早已积重难返, 本书只能概括承受. 本章还将针对代数引入整性的一般定义, 讨论分次代数, 并以张量代数及衍生之外代数和对称代数为根本实例, 这些也是线性代数中较为深入的题材, 有时又叫作多重线性代数. 称为初步同样是为了区别于代数的细部研究, 特别是非交换代数的表示理论, 那是另一个宏大主题.

第八章: 域扩张 扩域的研究构成了域论的一大特色, 这根植于解方程式的需求. 本书不回避无穷代数扩张和超越扩张, 但对于更精细的结构理论如 p-基等则暂予略过.

第九章: Galois 理论 有限扩域的 Galois 理论常被视为本科阶段代数学的终点, 这还是在课时充足的前提下; 如此就容易给人一种似是而非的印象, 仿佛 Galois 理论的要旨不外是解高次方程和尺规作图. 本章包括这些应用, 但置无穷 Galois 理论于核心位置, 因为在数论等应用中, 由可分闭包给出的绝对 Galois 群才是最根本的对象. 为了阐述这点, 使用 pro-有限群的语言便是难免的.

第十章: 域的赋值 此章第一节是关于滤子与完备化的讨论, 无妨暂时略过. 其后介绍 Krull 赋值的一般概念, 取值容许在任意全序交换群上, 然后引入域上的赋值与绝对值. 这些主题既可以看作代数的支脉, 也可以看作非 Archimedes 分析学的入门. 相关思路现已汇入了数论, 几何与动力系统的研究. 最后介绍的 Witt 向量则在算术几何的新近发展中承担了吃重的角色.

对于抽象程度较高的部分, 正文将穿插若干和理论主线无关, 然而饶富兴味或者曾发挥重要历史功用的结果, 例子包括 Möbius 反演 (§5.4), Frobenius 定理 7.2.9, Grassmann 簇的 Plücker 嵌入 (§7.7) 和 Ostrowski 定理 10.4.6 等等. 本书不区分基础内容与选学内容, 读者在订定阅读顺序时宜参酌各章开头的介绍和阅读提示.

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