用激光造一个“万花筒”，物理学家花了二十年

一组来自南非和英国的研究人员用激光制造出多种多样的分形图案，相关论文于今年 1 月 25 日发表在《物理评论A》（Physical Review A）上。这个实验看起来并不复杂，但从提出设想到最终实现，物理学界用了近二十年。

图片来源：University of the Witwatersrand

撰文 向菲菲

编辑 戚译引

大自然中混沌与有序总是相生相伴的。绵延的海岸线，天空中看似漫不经心的云朵，若对它们进行高倍缩放，就会发现，放大和缩小后的图片会如此相似。同样的现象还出现在海螺的螺旋贝壳花纹上，树枝，雪花还有西蓝花的结构中，这些就是大自然创造的分形（fractal）。

分形是一个无限重复的图案。在不同尺度下，分形都展现出相同或者相似的结构，或者说分形具有自相似性。19 世纪的数学家已经开始探索分形图案的函数，但激光物理学家们直到最近才跟上：1999 年，来自荷兰的几个科学家通过理论计算发现，只需要一个激光共振腔，就可以让激光产生出复杂的分形图案；又过了近二十年，一队来自南非和英国的研究人员才实现这一设想，并将实验成果发表在《物理评论A》（Physical Review A）上。

具有分形图案的西蓝花，海螺和雪花。图片来源：Pixabay

20 年来无人完成的挑战

20 年前，荷兰科学家卡尔曼（G. P. Karman）与合作者通过理论计算，发现了一个令人惊讶的结论——只需要用一个普通的激光共振腔，就能让激光产生复杂的分形图案。这个激光共振腔由一对球面镜和一些小孔组成，利用腔内两个相对的球面镜，将通过的激光进行多次的反射，让光辐射不断增强，形成一束强度更大，方向集中的激光。最初对激光分形形成的机制可解释为：激光在共振腔内被球面镜来回反射放大，从而在不同尺度范围内产生了一系列具有分形特征的相似图案。1999 年 11 月，卡尔曼等人在《自然》（Nature）上发表了相关研究成果。

然而，这一设想并没有考虑到激光在共振腔内的衍射行为。很明显地，在激光没有衍射时，共振腔对里面的激光进行的一连串的放大，可将激光产生的图案变得越来越均匀。有理论研究发现这些图案属于统计分形（statistical fractals）。但这种分形只是看起来像是同一种类型的图案，但并不完全相同。

随后的研究发现，在共振腔内某个特殊平面上，光的衍射行为变得非常简单，光的密度分布呈现出衍射受限的自相似分形结构。通过改变共振腔中的一些参数设置，可以改变激光在该平面上的密度分布，从而产生希尔宾斯基镂垫（Sierpinski gasket）、科赫雪花（Koch snowflake）等经典分形图案。

这个实验看起来并不复杂，但是为什么迟迟没有人实现它？

科赫雪花分形结构示意图。（图片来源：Pixabay）

“把头伸进盒子里”

来自南非威特沃特斯兰德大学（University of the Witwatersrand）的物理学教授安德鲁·福布斯（Andrew Forbes）和他的合作者们仔细阅读了卡尔曼等人的论文，发现了一个突破口：如果想要看到激光产生的分形，必须要将目光移到共振腔内部。

卡尔曼的设想没有错，但是从共振腔里逸出的激光并不能产生分形。要想将激光产生的分形图案显示出来，需要设计出一个装置，对共振腔内部某一个特殊的平面成像，这个平面被称为共同聚焦平面（common focal plane）。

用来制造光分形的仪器装置。图片来源：威特沃特斯兰德大学

据福布斯介绍，他们使用了一种特殊的共振腔，腔内的反射镜由曲面镜组成，通过调节这两个曲面镜之间的距离，能使两面镜子的焦点汇聚到同一平面，这个平面就是共同聚焦平面。想象一下，一束光从这个平面开始射出，随后分别射向左右两个方向。摆放在左右两端的曲面镜将入射的光反射回来，反射光又射向对面的曲面镜，如此反复，直到反射光再次通过共同聚焦平面。这时的反射光相较于入射光是被缩放了的。激光在两个曲面镜间不停地被反射，缩放，最后所有不同“型号”的光都汇聚到共同聚焦平面上，于是神奇的光分形结构就这样出现了。

福布斯说：“要想证明我们得到的是不是光分形，只需要放大所得到的光图案。如果对图案多次放大或是缩小后，所看到的还是与之前相同的重复结构，那么这就是光分形图案。”

在观察到光分形后，福布斯和他的同事们还成功通过改变曲面镜的曲率，调节对激光的缩放效果，制造出几种具有不同花样的光分形图案。

 几种不同的光分形图案。图片来源：威特沃特斯兰德大学

“一个不完美的实验”

尽管完成了二十年来没人实现的实验，但是研究的另一位作者约翰尼斯·库蒂亚尔（Johannes Courtial）对此并不满意。“我们其实还没找到一个理想的成像平面，所以我们的实验并不够完美，”库蒂亚尔在一次采访中说道。

库蒂亚尔并不满足于制造出二维平面上的分形图案，他通过对理论模拟发现，激光还有可能在三维空间中成像，也就是说激光可以制造出立体分形结构。“我们只需要寻找一个有效的成像方法来实现三维光分形成像。我们可以做得更好！” 库蒂亚尔说。他们还需要一些时间从实验上验证这一设想。

到目前为止，激光分形还处于基础研究阶段。但是未来激光分形图案的产生可能会催生对多尺度成像的研究，或是对多于一个表面的物体成像的显微镜或成像系统的研发和制造。福布斯说：“分形光携带了许多复杂信息。也许有一天分形光还可以用来探测复杂物质。”

论文信息

【标题】Fractal light from lasers

【作者】Hend Sroor, Darryl Naidoo, Steven W. Miller, John Nelson, Johannes Courtial, and Andrew Forbes

【期刊】Physical Review A

【时间】25 January 2019

【DOI】10.1103/PhysRevA.99.013848

【摘要】Fractals, complex shapes with structure at multiple scales, have long been observed in nature: as symmetric fractals in plants and sea shells, and as statistical fractals in clouds, mountains, and coastlines. With their highly polished spherical mirrors, laser resonators are almost the precise opposite of nature, and so it came as a surprise when, in 1998, transverse intensity cross sections of the eigenmodes of unstable canonical resonators were predicted to be fractals [G. P. Karman et al., Nature (London) 402, 138 (1999)]. Experimental verification has so far remained elusive. Here we observe a variety of fractal shapes in transverse intensity cross sections through the lowest-loss eigenmodes of unstable canonical laser resonators, thereby demonstrating the controlled generation of fractal light inside a laser cavity. We also advance the existing theory of fractal laser modes, first by predicting three-dimensional self-similar fractal structure around the center of the magnified self-conjugate plane and second by showing, quantitatively, that intensity cross sections are most self-similar in the magnified self-conjugate plane. Our work offers a significant advance in the understanding of a fundamental symmetry of nature as found in lasers.

【链接】https://journals.aps.org/pra/abstract/10.1103/PhysRevA.99.013848 

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参考来源

1. https://www.livescience.com/64753-lasers-create-beautiful-fractals.html

2. https://www.salford.ac.uk/research/sirc/research-groups/materials-and-physics/applied-optics,-laser-applications-and-theory/discovery-of-fractal-lasers

3.  http://theconversation.com/new-research-proves-the-long-held-theory-that-lasers-can-create-fractals-110906

4. https://cosmosmagazine.com/mathematics/fractals-in-nature

5. https://phys.org/news/2019-01-team-fractal-lasers.html

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