List-decoding and list-recovery are important generalizations of unique decoding that received considerable attention over the years. However, the optimal trade-off among list-decoding (resp. list-recovery) radius, list size, and the code rate are not fully understood in both problems. This paper takes a step towards this direction when the list size is a given constant and the alphabet size is large (as a function of the code length). We prove a new Singleton-type upper bound for list-decodable codes, which improves upon the previously known bound by roughly a factor of $1/L$, where $L$ is the list size. We also prove a Singleton-type upper bound for list-recoverable codes, which is to the best of our knowledge, the first such bound for list-recovery. We apply these results to obtain new lower bounds that are optimal up to a multiplicative constant on the list size for list-decodable and list-recoverable codes with rates approaching capacity. Moreover, we show that list-decodable \emph{nonlinear} codes can strictly outperform list-decodable linear codes. More precisely, we show that there is a gap for a wide range of parameters, which grows fast with the alphabet size, between the size of the largest list-decodable nonlinear code and the size of the largest list-decodable linear codes. This is achieved by a novel connection between list-decoding and the notion of sparse hypergraphs in extremal combinatorics. We remark that such a gap is not known to exist in the problem of unique decoding. Lastly, we show that list-decodability or recoverability of codes implies in some sense good unique decodability.


翻译:列表解码和回收列表是多年来人们相当注意的独特解码的缩略。 但是, 列表解码( resp. list- recovernation) 半径、 列表大小和代码率之间的最佳交易在两个问题中都无法完全理解。 当列表大小为给定的常数, 字母大小较大( 作为代码长度的函数) 时, 本文朝此方向迈出了一步。 我们证明, 列表可解码的新的Soneton型上层约束在列表可解码代码中得到了改进, 与先前已知的大约由1/L$( $L$不是列表大小的) 。 我们还证明, 列表可解码的上层是单吨( Sington) 类型, 且在列表大小中, 在列表的解码中, 显示一个最大型的易解码, 以我们所知道的解码中, 将显示一个最不易解码, 。 在列表中, 以我们所定义的易解码中, 将显示一个最甚的解的解的解的解码, 。

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