In this paper, we propose a semigroup method for solving high-dimensional elliptic partial differential equations (PDEs) and the associated eigenvalue problems based on neural networks. For the PDE problems, we reformulate the original equations as variational problems with the help of semigroup operators and then solve the variational problems with neural network (NN) parameterization. The main advantages are that no mixed second-order derivative computation is needed during the stochastic gradient descent training and that the boundary conditions are taken into account automatically by the semigroup operator. Unlike popular methods like PINN \cite{raissi2019physics} and Deep Ritz \cite{weinan2018deep} where the Dirichlet boundary condition is enforced solely through penalty functions and thus changes the true solution, the proposed method is able to address the boundary conditions without penalty functions and it gives the correct true solution even when penalty functions are added, thanks to the semigroup operator. For eigenvalue problems, a primal-dual method is proposed, efficiently resolving the constraint with a simple scalar dual variable and resulting in a faster algorithm compared with the BSDE solver \cite{han2020solving} in certain problems such as the eigenvalue problem associated with the linear Schr\"odinger operator. Numerical results are provided to demonstrate the performance of the proposed methods.


翻译:在本文中, 我们提出一个基于神经网络解决高维椭圆部分偏差方程式( PDEs ) 及相关的天价问题的半组方法。 对于 PDE 问题, 我们使用半组操作员帮助将原始方程式重新配置为变异问题, 然后用神经网络参数化解决变异问题。 主要的好处是, 在随机梯度梯度下降训练期间, 不需要混合二级衍生衍生衍生物计算, 并且半组操作员会自动考虑边界条件 。 与 PINN \ cite {laisi2019 物理} 和 Deep Ritz {cite{weinan2018deep} 等流行方法不同, 在Dirichlet 边界条件仅通过惩罚功能强制实施并从而改变真正解决方案的情况下, 我们提出的方法能够解决边界条件的变异问题, 即使在使用半组操作员添加惩罚功能时, 也提供正确的真实的解决方案。 对于半组操作员来说, 提出一种原始方法, 以简单的 二次变数 20 和 直线性 算算算算算算法, 提供了一种快速的 解 的 。 快速 解算法,, 以简单的 解 解 20 解 解 的 。, 以 解算 快速 的 解 解 解 解 解 20 解 解 解 解 20 的 解 解 解 20 解 。

0
下载
关闭预览

相关内容

神经网络(Neural Networks)是世界上三个最古老的神经建模学会的档案期刊:国际神经网络学会(INNS)、欧洲神经网络学会(ENNS)和日本神经网络学会(JNNS)。神经网络提供了一个论坛,以发展和培育一个国际社会的学者和实践者感兴趣的所有方面的神经网络和相关方法的计算智能。神经网络欢迎高质量论文的提交,有助于全面的神经网络研究,从行为和大脑建模,学习算法,通过数学和计算分析,系统的工程和技术应用,大量使用神经网络的概念和技术。这一独特而广泛的范围促进了生物和技术研究之间的思想交流,并有助于促进对生物启发的计算智能感兴趣的跨学科社区的发展。因此,神经网络编委会代表的专家领域包括心理学,神经生物学,计算机科学,工程,数学,物理。该杂志发表文章、信件和评论以及给编辑的信件、社论、时事、软件调查和专利信息。文章发表在五个部分之一:认知科学,神经科学,学习系统,数学和计算分析、工程和应用。 官网地址:http://dblp.uni-trier.de/db/journals/nn/
神经常微分方程教程,50页ppt,A brief tutorial on Neural ODEs
专知会员服务
71+阅读 · 2020年8月2日
神经网络的拓扑结构,TOPOLOGY OF DEEP NEURAL NETWORKS
专知会员服务
31+阅读 · 2020年4月15日
强化学习最新教程,17页pdf
专知会员服务
174+阅读 · 2019年10月11日
Hierarchical Disentangled Representations
CreateAMind
4+阅读 · 2018年4月15日
已删除
将门创投
6+阅读 · 2017年11月27日
【论文】变分推断(Variational inference)的总结
机器学习研究会
39+阅读 · 2017年11月16日
Auto-Encoding GAN
CreateAMind
7+阅读 · 2017年8月4日
Arxiv
0+阅读 · 2022年1月31日
VIP会员
相关资讯
Hierarchical Disentangled Representations
CreateAMind
4+阅读 · 2018年4月15日
已删除
将门创投
6+阅读 · 2017年11月27日
【论文】变分推断(Variational inference)的总结
机器学习研究会
39+阅读 · 2017年11月16日
Auto-Encoding GAN
CreateAMind
7+阅读 · 2017年8月4日
Top
微信扫码咨询专知VIP会员