The maximum matching problem in dynamic graphs subject to edge updates (insertions and deletions) has received much attention over the last few years; a multitude of approximation/time tradeoffs were obtained, improving upon the folklore algorithm, which maintains a maximal (and hence $2$-approximate) matching in $O(n)$ worst-case update time in $n$-node graphs. We present the first deterministic algorithm which outperforms the folklore algorithm in terms of {\em both} approximation ratio and worst-case update time. Specifically, we give a $(2-\Omega(1))$-approximate algorithm with $O(m^{3/8})=O(n^{3/4})$ worst-case update time in $n$-node, $m$-edge graphs. For sufficiently small constant $\epsilon>0$, no deterministic $(2+\epsilon)$-approximate algorithm with worst-case update time $O(n^{0.99})$ was known. Our second result is the first deterministic $(2+\epsilon)$-approximate weighted matching algorithm with $O_\epsilon(1)\cdot O(\sqrt[4]{m}) = O_\epsilon(1)\cdot O(\sqrt{n})$ worst-case update time. Our main technical contributions are threefold: first, we characterize the tight cases for \emph{kernels}, which are the well-studied matching sparsifiers underlying much of the $(2+\epsilon)$-approximate dynamic matching literature. This characterization, together with multiple ideas -- old and new -- underlies our result for breaking the approximation barrier of $2$. Our second technical contribution is the first example of a dynamic matching algorithm whose running time is improved due to improving the \emph{recourse} of other dynamic matching algorithms. Finally, we show how to use dynamic bipartite matching algorithms as black-box subroutines for dynamic matching in general graphs without incurring the natural $\frac{3}{2}$ factor in the approximation ratio which such approaches naturally incur.
翻译:动态图形中的最大匹配问题在过去几年里得到了很多关注; 获得了大量近似/时间交易, 民俗算法得到了改进, 民俗算法保持了最高( 因而是2美元- 最差) 匹配时间 $(n) 美元, 最差的更新时间为 $ 美元, 美元 - node 图形 。 我们展示了第一个确定性算法, 该算法表现了民俗算法, 其接近率比率和最坏的更新时间 。 具体地说, 我们给出了 $ (2\ Omega(1) ) 的近差价算法, 该算法表现了第一个确定性 美元 美元 美元 (m%3/8} 美元, 最差的更新时间为 美元 美元 美元 美元 。 我们的 Omillionqlational= 美元 美元 美元= 美元 美元 美元- 美元 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 的比 的比 的比 的比 的比 的比 基 的比 的计算, 我们的计算结果, 我们的,, 我们的计算, 的 的 的 的 的, 我们的, 我们的, 我们的计算, 我们的, 我们的第二个算算算算算算算算算算算算算算算算算算算算算算的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的