Contiguous submatrices of the Fourier matrix are known to be ill-conditioned. In a recent paper in SIAM Review A. Barnett has provided new bounds on the rate of ill-conditioning of the discrete Fourier submatrices. In this paper we focus on the corresponding singular value decomposition. The singular vectors go by the name of periodic discrete prolate spheroidal sequences (P-DPSS). The singular values exhibit an initial plateau, which depends on the dimensions of the submatrix, after which they decay rapidly. The latter regime is known as the plunge region and it is compatible with the submatrices being ill-conditioned. The discrete prolate sequences have received much less study than their continuous counterparts, prolate spheroidal wave functions, associated with continuous Fourier transforms and widely studied following the work of Slepian in the 1970's. In this paper we collect and expand known results on the stable numerical computation of the singular values and vectors of Fourier submatrices. We illustrate the computations and point out a few applications in which Fourier submatrices arise.


翻译:已知Fourier 矩阵的相近次矩阵存在不完善条件。 在SISAM Review A. Barnett 最近的一篇论文中,Barnett 提供了离散 Fourier 子矩阵的不整节率的新界限。 在本文中,我们侧重于相应的单值分解。 单矢量以定期离散预产出血管序列(P-DPSS)的名称命名。 单值显示初始高原, 取决于子矩阵的尺寸, 其随后迅速衰落。 后一种制度被称为跳跃区域, 与次矩阵不适应。 离散的前端序列得到的研究比连续的对应序列要少得多, 与连续的 Fourier 变化有关, 并在1970年代Slepian 的工作之后进行了广泛研究。 在本文中, 我们收集并扩展了已知的关于Fourier 子矩阵单值和矢量的稳定数字计算结果。 我们举例说明了计算结果, 并指明了产生四子矩阵的几种应用。

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