We study the fixed-support Wasserstein barycenter problem (FS-WBP), which consists in computing the Wasserstein barycenter of $m$ discrete probability measures supported on a finite metric space of size $n$. We show first that the constraint matrix arising from the standard linear programming (LP) representation of the FS-WBP is \textit{not totally unimodular} when $m \geq 3$ and $n \geq 3$. This result resolves an open question pertaining to the relationship between the FS-WBP and the minimum-cost flow (MCF) problem since it proves that the FS-WBP in the standard LP form is not an MCF problem when $m \geq 3$ and $n \geq 3$. We also develop a provably fast \textit{deterministic} variant of the celebrated iterative Bregman projection (IBP) algorithm, named \textsc{FastIBP}, with a complexity bound of $\tilde{O}(mn^{7/3}\varepsilon^{-4/3})$, where $\varepsilon \in (0, 1)$ is the desired tolerance. This complexity bound is better than the best known complexity bound of $\tilde{O}(mn^2\varepsilon^{-2})$ for the IBP algorithm in terms of $\varepsilon$, and that of $\tilde{O}(mn^{5/2}\varepsilon^{-1})$ from accelerated alternating minimization algorithm or accelerated primal-dual adaptive gradient algorithm in terms of $n$. Finally, we conduct extensive experiments with both synthetic data and real images and demonstrate the favorable performance of the \textsc{FastIBP} algorithm in practice.
翻译:我们研究的是固定支持瓦塞斯坦巴研究中心问题(FS-WBP),它包括计算瓦塞斯坦巴中心美元离散概率值的瓦塞斯坦巴中心。我们首先显示FS-WBP标准线性编程(LP)代表标准线性编程(LP)的制约矩阵是 ktextit{ 并非完全单一} $m\geq 3 美元和 $n\ geq 3美元。这个结果解决了一个有关FS-WBP与最低成本流(MCF) 问题的关系的未决问题,因为它证明标准LP格式的FS-WBP离散概率度测量值为美元, 当 3美元和3美元的标准线性编程(LPP) 代表标准线性编程(LPFS-LP), 3美元和美元(IBBS) 和美元(FIT) 美元(O_BS) 的快速变数(IBS) 和美元(O_BS) 3xl) IM IM 或(lent) 美元(l) 美元) 美元(Olick(l) 3) 美元(l) 美元(l) 或(l) 美元) 美元) 美元(l) 美元) 美元(Ol) 美元(l) 美元) 或(l) 美元(l) 美元(l) 美元) 美元(l) 美元(l) 美元(l) 美元(l) 美元) 或(l) 美元(l) 美元) 美元(l) 美元(l) 或(l) 美元) 美元(l) 或(l) 美元(l) 美元(美元) 美元(l) 美元(美元) 美元(美元) 美元(美元) 美元(美元(l) 美元) 美元) 美元) 美元(美元(美元(美元) 美元) 美元(美元(美元) 美元) 美元(美元) 美元) 美元) 美元) 美元) 美元) 美元) 美元) 美元(美元(美元(美元) 美元) 美元)的快速) 美元(美元(美元)