For the solution of the cubic nonlinear Schr\"odinger equation in one space dimension, we propose and analyse a fully discrete low-regularity integrator. The scheme is explicit and can easily be implemented using the fast Fourier transform with a complexity of $\mathcal{O}(N\log N)$ operations per time step, where $N$ denotes the degrees of freedom in the spatial discretisation. We prove that the new scheme provides an $\mathcal{O}(\tau^{\frac32\gamma-\frac12-\varepsilon}+N^{-\gamma})$ error bound in $L^2$ for any initial data belonging to $H^\gamma$, $\frac12<\gamma\leq 1$, where $\tau$ denotes the temporal step size. Numerical examples illustrate this convergence behavior.
翻译:对于一个空间维度中的立方非线性 Schr\“ odinger 方程式的解决方案, 我们提议并分析一个完全离散的低常规集成器。 这个方案很明确, 并且可以很容易地使用快速的 Fourier 变换, 复杂度为 $mathcal{O}( N\log N) 操作每时步 $\ mathcal{O} ( N\log N), 其中美元表示空间离散的自由度 。 我们证明新方案提供了$\ mathcal{ O} (\\\\\\\\ frac32\ gamma-\ frac12\ varepsilon\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ gamma}) $( $\ $\\\\\\\\\ gamma\ $\ $) $的初始数据。 我们证明新方案提供了一个$\\ tau 表示时间大小的自由度的组合行为。