Motivation: We consider continuous-time Markov chains that describe the stochastic evolution of a dynamical system by a transition-rate matrix $Q$ which depends on a parameter $\theta$. Computing the probability distribution over states at time $t$ requires the matrix exponential $\exp(tQ)$, and inferring $\theta$ from data requires its derivative $\partial\exp\!(tQ)/\partial\theta$. Both are challenging to compute when the state space and hence the size of $Q$ is huge. This can happen when the state space consists of all combinations of the values of several interacting discrete variables. Often it is even impossible to store $Q$. However, when $Q$ can be written as a sum of tensor products, computing $\exp(tQ)$ becomes feasible by the uniformization method, which does not require explicit storage of $Q$. Results: Here we provide an analogous algorithm for computing $\partial\exp\!(tQ)/\partial\theta$, the differentiated uniformization method. We demonstrate our algorithm for the stochastic SIR model of epidemic spread, for which we show that $Q$ can be written as a sum of tensor products. We estimate monthly infection and recovery rates during the first wave of the COVID-19 pandemic in Austria and quantify their uncertainty in a full Bayesian analysis. Availability: Implementation and data are available at https://github.com/spang-lab/TenSIR.


翻译:动机 : 我们考虑连续时间的 Markov 链条, 描述动态系统的随机演进, 通过一个过渡率基质基质 $Q 来描述动态系统的随机演进。 基质基质基质 $Q $, 取决于一个参数 $\ theta$ 。 计算各州的时间概率分布需要基质指数 $\ exp( tQ) $ 美元, 从数据中计算 $\ theta$ 需要其衍生物 $\ part\ expt\! (tQ) /\ part\ thethta$ $。 当国家空间由几个交互的离散变量的所有组合组成时, Q 美元 。 通常甚至无法存储 Q 。 然而, 当 美元 基质指数可以写成 Exgentor exmouncal $ (tQ), 从统一方法中可以计算 美元 。 结果: 我们为计算 美元/ Qreareal\\\ the smodial dal dalal explainalalalalalalalalation as of the Salvialvial exal exvialvial excial exmal excudududududududududuductions.

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