The classical Cheeger's inequality relates the edge conductance $\phi$ of a graph and the second smallest eigenvalue $\lambda_2$ of the Laplacian matrix. Recently, Olesker-Taylor and Zanetti discovered a Cheeger-type inequality $\psi^2 / \log |V| \lesssim \lambda_2^* \lesssim \psi$ connecting the vertex expansion $\psi$ of a graph $G=(V,E)$ and the maximum reweighted second smallest eigenvalue $\lambda_2^*$ of the Laplacian matrix. In this work, we first improve their result to $\psi^2 / \log d \lesssim \lambda_2^* \lesssim \psi$ where $d$ is the maximum degree in $G$, which is optimal assuming the small-set expansion conjecture. Also, the improved result holds for weighted vertex expansion, answering an open question by Olesker-Taylor and Zanetti. Building on this connection, we then develop a new spectral theory for vertex expansion. We discover that several interesting generalizations of Cheeger inequalities relating edge conductances and eigenvalues have a close analog in relating vertex expansions and reweighted eigenvalues. These include an analog of Trevisan's result on bipartiteness, an analog of higher order Cheeger's inequality, and an analog of improved Cheeger's inequality. Finally, inspired by this connection, we present negative evidence to the $0/1$-polytope edge expansion conjecture by Mihail and Vazirani. We construct $0/1$-polytopes whose graphs have very poor vertex expansion. This implies that the fastest mixing time to the uniform distribution on the vertices of these $0/1$-polytopes is almost linear in the graph size. This does not provide a counterexample to the conjecture, but this is in contrast with known positive results which proved poly-logarithmic mixing time to the uniform distribution on the vertices of subclasses of $0/1$-polytopes.


翻译:古典Cheeger 的不平等性与一个图形的顶端导电 $\ psopo美元 和第二个最小的顶端导电量 $0 lambda_ 2美元 拉普拉西亚矩阵。 最近, Olesker- Taylor 和Zanetti 发现了一个Cheeger 类型的不平等 $\ psi2 / log ⁇ { { { { { { { { { { { { { { { { { { { \ { { { { { { { { { { { { { { { } { { { { { { { { { { { { { { { { { { }\ psmspi } } } 有关 。 。 美元最大一 美元, 美元, 美元 美元 美元 美元 的底部的比 ==( V, E) ex) r) ylationlationlationlationlationlationlationlationlationlation 。

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