The Gaussian noise stability of a function $f:\mathbb{R}^n \to \{-1, 1\}$ is the expected value of $f(\boldsymbol{x}) \cdot f(\boldsymbol{y})$ over $\rho$-correlated Gaussian random variables $\boldsymbol{x}$ and $\boldsymbol{y}$. Borell's inequality states that for $-1 \leq \rho \leq 0$, this is minimized by the halfspace $f(x) = \mathrm{sign}(x_1)$. In this work, we generalize this result to hold for functions $f:\mathbb{R}^n \to S^{k-1}$ which output $k$-dimensional unit vectors. Our main result shows that the expected value of $\langle f(\boldsymbol{x}), f(\boldsymbol{y})\rangle$ over $\rho$-correlated Gaussians $\boldsymbol{x}$ and $\boldsymbol{y}$ is minimized by the function $f(x) = x_{\leq k} / \Vert x_{\leq k} \Vert$, where $x_{\leq k} = (x_1, \ldots, x_k)$. As an application, we show several hardness of approximation results for Quantum Max-Cut, a special case of the local Hamiltonian problem related to the anti-ferromagnetic Heisenberg model. Quantum Max-Cut is a natural quantum analogue of classical Max-Cut and has become testbed for designing quantum approximation algorithms. We show the following: (1) The integrality gap of the basic SDP is $0.498$, matching an existing rounding algorithm. Combined with existing approximation results for Quantum Max-Cut, this shows that the basic SDP does not achieve the optimal approximation ratio. (2) It is Unique Games-hard (UG-hard) to compute a $(0.956+\varepsilon)$-approximation to the value of the best product state, matching an existing approximation algorithm. This result may be viewed as applying to a generalization of Max-Cut where one seeks to assign $3$-dimensional unit vectors to each vertex; we also give tight hardness results for the analogous $k$-dimensional generalization of Max-Cut. (3) It is UG-hard to compute a $(0.956+\varepsilon)$-approximation to the value of the best (possibly entangled) state.


翻译:函数 $f:\ mathb{R ⁇ n\to DP=-1, 1 ⁇ $的高尔斯噪音稳定性 :\ mathb{R ⁇ } 美元; 美元; 美元; 美元; 美元; 美元; 美元; 美元; 美元; 美元; 元; 美元; 元; 美元; 元; 美元; 元; 元; 元; 元; 元; 元; 元; 元; 元; 元; 元; 元; 元; 元; 元; 元; 元; 元; 元; 元; 美元; 元; 元; 元; 元; 元; 元; 元; 元; 元; 元; 立; 元; 元;

0
下载
关闭预览

相关内容

专知会员服务
50+阅读 · 2020年12月14日
专知会员服务
52+阅读 · 2020年9月7日
【DeepMind】强化学习教程,83页ppt
专知会员服务
152+阅读 · 2020年8月7日
强化学习最新教程,17页pdf
专知会员服务
174+阅读 · 2019年10月11日
机器学习相关资源(框架、库、软件)大列表
专知会员服务
39+阅读 · 2019年10月9日
Hierarchically Structured Meta-learning
CreateAMind
26+阅读 · 2019年5月22日
2018机器学习开源资源盘点
专知
6+阅读 · 2019年2月2日
RL 真经
CreateAMind
5+阅读 · 2018年12月28日
Ray RLlib: Scalable 降龙十八掌
CreateAMind
9+阅读 · 2018年12月28日
disentangled-representation-papers
CreateAMind
26+阅读 · 2018年9月12日
Hierarchical Disentangled Representations
CreateAMind
4+阅读 · 2018年4月15日
【计算机类】期刊专刊/国际会议截稿信息6条
Call4Papers
3+阅读 · 2017年10月13日
自然语言处理 (NLP)资源大全
机械鸡
35+阅读 · 2017年9月17日
【推荐】SVM实例教程
机器学习研究会
17+阅读 · 2017年8月26日
Auto-Encoding GAN
CreateAMind
7+阅读 · 2017年8月4日
Arxiv
12+阅读 · 2021年3月24日
Arxiv
4+阅读 · 2018年4月30日
Arxiv
3+阅读 · 2018年2月24日
VIP会员
相关资讯
Hierarchically Structured Meta-learning
CreateAMind
26+阅读 · 2019年5月22日
2018机器学习开源资源盘点
专知
6+阅读 · 2019年2月2日
RL 真经
CreateAMind
5+阅读 · 2018年12月28日
Ray RLlib: Scalable 降龙十八掌
CreateAMind
9+阅读 · 2018年12月28日
disentangled-representation-papers
CreateAMind
26+阅读 · 2018年9月12日
Hierarchical Disentangled Representations
CreateAMind
4+阅读 · 2018年4月15日
【计算机类】期刊专刊/国际会议截稿信息6条
Call4Papers
3+阅读 · 2017年10月13日
自然语言处理 (NLP)资源大全
机械鸡
35+阅读 · 2017年9月17日
【推荐】SVM实例教程
机器学习研究会
17+阅读 · 2017年8月26日
Auto-Encoding GAN
CreateAMind
7+阅读 · 2017年8月4日
Top
微信扫码咨询专知VIP会员