Measures of circuit complexity are usually analyzed to ensure the computation of Boolean functions with economy and efficiency. One of these measures is energy complexity, which is related to the number of gates that output true in a circuit for an assignment. The idea behind energy complexity comes from the counting of `firing' neurons in a natural neural network. The initial model is based on threshold circuits, but recent works also have analyzed the energy complexity of traditional Boolean circuits. In this work, we discuss the time complexity needed to compute the best-case energy complexity among satisfying assignments of a monotone Boolean circuit, and we call such a problem as MinEC$^+_M$. In the MinEC$^+_M$ problem, we are given a monotone Boolean circuit $C$, a positive integer $k$ and asked to determine whether there is a satisfying assignment $X$ for $C$ such that $EC(C,X) \leq k$, where $EC(C,X)$ is the number of gates that output true in $C$ according to the assignment $X$. We prove that MinEC$^+_M$ is NP-complete even when the input monotone circuit is planar. Besides, we show that the problem is W[1]-hard but in XP when parameterized by the size of the solution. In contrast, we show that when the size of the solution and the genus of the input circuit are aggregated parameters, the MinEC$^+_M$ problem becomes fixed-parameter tractable.


翻译:电路复杂度的测量通常被分析,以确保以经济和效率计算布林功能的计算。其中一项措施是能源复杂度,这与在分配的电路中产出真实的门数有关。能源复杂度背后的想法来自在自然神经网络中计算“电动”神经元。初始模型以临界电路为基础,但最近的工程也分析了传统的布林电路的能源复杂度。在这项工作中,我们讨论了计算满足单体布林电路任务的最佳情况能源复杂度所需的时间复杂度。我们称之为“MinEC$=M美元”这样的问题。在MinEC$=M$的问题中,我们得到了一个单体型布林电路电路的计算,一个正整数美元,并被要求确定是否有令人满意的任务(X,X)=leqkkk美元(美元),而当一体电路段(C)为美元,而一体电路段(WNP)的比值则显示“OFIM”的比值。我们证明,当OEC$M-M值的比值是固定的比值时,我们的比值是“UIPLA”的比值的比值问题。

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