For $d\in\mathbb{N}$, let $S$ be a set of points in $\mathbb{R}^d$ in general position. A set $I$ of $k$ points from $S$ is a $k$-island in $S$ if the convex hull $\mathrm{conv}(I)$ of $I$ satisfies $\mathrm{conv}(I) \cap S = I$. A $k$-island in $S$ in convex position is a $k$-hole in $S$. For $d,k\in\mathbb{N}$ and a convex body $K\subseteq\mathbb{R}^d$ of volume $1$, let $S$ be a set of $n$ points chosen uniformly and independently at random from $K$. We show that the expected number of $k$-holes in $S$ is in $O(n^d)$. Our estimate improves and generalizes all previous bounds. In particular, we estimate the expected number of empty simplices in $S$ by $2^{d-1}\cdot d!\cdot\binom{n}{d}$. This is tight in the plane up to a lower-order term. Our method gives an asymptotically tight upper bound $O(n^d)$ even in the much more general setting, where we estimate the expected number of $k$-islands in $S$.
翻译:对于 $\ mathrm{ conv} (I) $I 美元可以满足 $mathrm{conv} (I)\ cap S = I美元。 在 comvex 位置上, 以 $S$为单位的一块点数是美元。 对于 $S, 美元以 美元为单位。 美元以 美元为单位, 美元以 美元为单位。 对于 美元, 美元以 美元为单位, 美元为美元。 美元以美元为单位, 美元为美元。 对于 美元, 美元以美元为单位, 美元为美元为单位, 美元以美元为单位, 美元为美元。 对于美元为单位, 美元以美元为单位, 美元以美元为单位, 美元以美元为单位, 美元以美元为单位, 以美元为单位, 美元为美元 。 对于美元为美元为单位, 以美元为美元为单位, 以美元为美元为美元为美元 。 对于美元, 美元为美元为美元为美元为美元为美元为美元, 美元为美元 美元为美元为美元为美元 。 对于美元为美元为美元为美元为美元, 美元为美元为美元为美元为美元为美元, 美元为美元为美元为美元为美元为美元,, 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元, 美元 美元 美元 美元 美元 美元,, 美元 美元 美元 美元, 美元 美元 美元 美元, 美元 美元 美元,, 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元,, 美元 美元,, 美元 美元 美元, 美元,, 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以, 以,, 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 美元 以 以 美元 美元 美元 美元 以 美元 美元 美元 以 美元 美元