Sorting is a fundamental problem in computer science. In the classical setting, it is well-known that $(1\pm o(1)) n\log_2 n$ comparisons are both necessary and sufficient to sort a list of $n$ elements. In this paper, we study the Noisy Sorting problem, where each comparison result is flipped independently with probability $p$ for some fixed $p\in (0, \frac 12)$. As our main result, we show that $$(1\pm o(1)) \left( \frac{1}{I(p)} + \frac{1}{(1-2p) \log_2 \left(\frac{1-p}p\right)} \right) n\log_2 n$$ noisy comparisons are both necessary and sufficient to sort $n$ elements with error probability $o(1)$ using noisy comparisons, where $I(p)=1 + p\log_2 p+(1-p)\log_2 (1-p)$ is capacity of BSC channel with crossover probability $p$. This simultaneously improves the previous best lower and upper bounds (Wang, Ghaddar and Wang, ISIT 2022) for this problem. For the related Noisy Binary Search problem, we show that $$ (1\pm o(1)) \left((1-\delta)\frac{\log_2(n)}{I(p)} + \frac{2 \log_2 \left(\frac 1\delta\right)}{(1-2p)\log_2\left(\frac {1-p}p\right)}\right) $$ noisy comparisons are both necessary and sufficient to find the predecessor of an element among $n$ sorted elements with error probability $\delta$. This extends the previous bounds of (Burnashev and Zigangirov, 1974), which are only tight for $\delta = 1/n^{o(1)}$.
翻译:排序是计算机科学中的一个基本问题。 在古典环境下, 众所周知 $( 1\ pm o(1)) n\ log_ 2 n$ 比较既有必要, 也足以排序美元元素。 在本文中, 我们研究Noisy 排序问题, 每个比较结果都是独立翻转的, 一些固定 $p\ ev (0,\ frac 12) 的概率为$ p 。 作为我们的主要结果, 我们显示 $( 1\ pm o(1))\ left( frac) { 1\\ i( 1\ i) i( 1\ l) i( 1\ i) 1\ 美元 ( 2) 美元 ( lic) = gran 美元 (2\ p) 美元 (2) lax ( 1\ ta) 美元 ( 1\ ta) 美元 ( 1\ ta) 美元 ( 1\ ta) 美元 ( 1\ ta) 美元 (1\\\ tal\\\ t) 美元) 美元 (l) 美元) 美元 ( 美元) 美元) 美元 ( 美元) 美元) 美元=\ 美元= 美元= 美元= 美元= 美元= 美元= 美元= 美元= 美元= 美元= 美元= 美元= 美元= 美元= 美元= 美元= 美元= 美元= 美元= 美元=</s>