Numerical homogenization aims to efficiently and accurately approximate the solution space of an elliptic partial differential operator with arbitrarily rough coefficients in a $d$-dimensional domain. The application of the inverse operator to some standard finite element space defines an approximation space with uniform algebraic approximation rates with respect to the mesh size parameter $H$. This holds even for under-resolved rough coefficients. However, the true challenge of numerical homogenization is the localized computation of a localized basis for such an operator-dependent approximate solution space. This paper presents a novel localization technique that enforces the super-exponential decay of the basis relative to $H$. This shows that basis functions with supports of width $\mathcal O(H|\log H|^{(d-1)/d})$ are sufficient to preserve the optimal algebraic rates of convergence in $H$ without pre-asymptotic effects. A sequence of numerical experiments illustrates the significance of the new localization technique when compared to the so far best localization to supports of width $\mathcal O(H|\log H|)$.


翻译:数字同质化的真正挑战在于一个具有任意粗略系数的椭圆部分操作员的解决方案空间,该操作员对某种标准的有限元素空间的运用对某种标准的有限元素空间的运用定义了一个具有统一的代数近似空间,对网状大小参数的比重为$H。这甚至对未完全溶解的粗略系数来说也是一样。然而,数字同质化的真正挑战在于对这样一个依赖操作员的近似解决方案空间进行局部化计算。本文展示了一种新颖的本地化技术,对基数比重为$H美元实施超度衰减。这表明,在宽度为$\mathcal O (H ⁇ log H ⁇ (d-1/d}) 的支撑下,基数功能足以保持以美元表示最佳的趋同率,而没有防腐蚀前的影响。一系列数字实验表明,与支持宽度 $\mathal O (H ⁇ ) 的最佳本地化技术相比,新的本地化技术的重要性。

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