The need for multiple interactive, real-time simulations using different parameter values has driven the design of fast numerical algorithms with certifiable accuracies. The reduced basis method (RBM) presents itself as such an option. RBM features a mathematically rigorous error estimator which drives the construction of a low-dimensional subspace. A surrogate solution is then sought in this low-dimensional space approximating the parameter-induced high fidelity solution manifold. However when the system is nonlinear or its parameter dependence nonaffine, this efficiency gain degrades tremendously, an inherent drawback of the application of the empirical interpolation method (EIM). In this paper, we augment and extend the EIM approach as a direct solver, as opposed to an assistant, for solving nonlinear partial differential equations on the reduced level. The resulting method, called Reduced Over-Collocation method (ROC), is stable and capable of avoiding the efficiency degradation. Two critical ingredients of the scheme are collocation at about twice as many locations as the number of basis elements for the reduced approximation space, and an efficient error indicator for the strategic building of the reduced solution space. The latter, the main contribution of this paper, results from an adaptive hyper reduction of the residuals for the reduced solution. Together, these two ingredients render the proposed R2-ROC scheme both offline- and online-efficient. A distinctive feature is that the efficiency degradation appearing in traditional RBM approaches that utilize EIM for nonlinear and nonaffine problems is circumvented, both in the offline and online stages. Numerical tests on different families of time-dependent and steady-state nonlinear problems demonstrate the high efficiency and accuracy of our R2-ROC and its superior stability performance.
翻译:使用不同参数值进行多重互动实时模拟的必要性促使设计了具有可验证的隐蔽度的快速数字算法。 降低基数法( RBM) 本身就是一个选项。 减低基法( RBM) 是一个数学上严格的错误估计器, 驱动构建一个低维子空间。 然后在这种低维空间中寻求代方解决方案, 以降低参数引致的高忠诚度解决方案的多重。 然而, 当系统非线性或者其参数依赖性不尽然时, 效率的提高会大大降低, 这是应用经验性内插法( EIM ) 的内在缺陷。 在本文件中, 我们扩大和扩大EIM 方法, 将其作为直接的解决方案, 而不是助手, 解决低维度的不线性差方。 由此产生的方法, 即降低超额配置法(ROC ), 避免效率的退化。 计划的两个关键要素在很多地点, 与减少近点相比, 降低空间的基数的基数, 降低 EIM 的不精确度方法, 以及 降低 E- 降低 E- 降低 E- 降低 和 降低 CRE 解决方案 的 的 的 的 的 的 的 度 的 的 的 度, 降低 和 的 降低 降低 降低 的 的 的 的 降低 的 的 的 和 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 水平 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 和 的 的 的 的 的 的 的 和 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 和 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的