Lightness and sparsity are two natural parameters for Euclidean $(1+\varepsilon)$-spanners. Classical results show that, when the dimension $d\in \mathbb{N}$ and $\varepsilon>0$ are constant, every set $S$ of $n$ points in $d$-space admits an $(1+\varepsilon)$-spanners with $O(n)$ edges and weight proportional to that of the Euclidean MST of $S$. Tight bounds on the dependence on $\varepsilon>0$ for constant $d\in \mathbb{N}$ have been established only recently. Le and Solomon (FOCS 2019) showed that Steiner points can substantially improve the lightness and sparsity of a $(1+\varepsilon)$-spanner. They gave upper bounds of $\tilde{O}(\varepsilon^{-(d+1)/2})$ for the minimum lightness in dimensions $d\geq 3$, and $\tilde{O}(\varepsilon^{-(d-1))/2})$ for the minimum sparsity in $d$-space for all $d\geq 1$. They obtained lower bounds only in the plane ($d=2$). Le and Solomon (ESA 2020) also constructed Steiner $(1+\varepsilon)$-spanners of lightness $O(\varepsilon^{-1}\log\Delta)$ in the plane, where $\Delta\in \Omega(\sqrt{n})$ is the \emph{spread} of $S$, defined as the ratio between the maximum and minimum distance between a pair of points. In this work, we improve several bounds on the lightness and sparsity of Euclidean Steiner $(1+\varepsilon)$-spanners. Using a new geometric analysis, we establish lower bounds of $\Omega(\varepsilon^{-d/2})$ for the lightness and $\Omega(\varepsilon^{-(d-1)/2})$ for the sparsity of such spanners in Euclidean $d$-space for all $d\geq 2$. We use the geometric insight from our lower bound analysis to construct Steiner $(1+\varepsilon)$-spanners of lightness $O(\varepsilon^{-1}\log n)$ for $n$ points in Euclidean plane.
翻译:亮度和度量是 Euclidean $( 1\\\ varepsil) 的兩個自然参数 。 经典的结果表明, 当美元和美元平方元的维度是恒定的时, 每设定美元以美元平方元计, 每设定美元以美元平方元, 美元平方元( 1\\ varepsilon) 美元平方元的比值( 0) 美元平方元的比值與美元平方元的比值( 0) 。 以美元平方元平方元平方元平方元的基值, 以美元平方元平方元平方元平方元平方元的比值( 1\ vareprecil) 平方元平方元平方元平价的比值, 平方元平方元平方元平方平方元平方元平方元平方元平方元平方美元平方程的比值平面平面平面平方( 平方平方美元平方平方平方平方平方美元平方平方程的比( 平方平方平方平方程) 平方平方平方平方平方平方平方平方平方平方平方程的比( 1- 平方平方平方平方平方平方平方平方平方程的比( 平方程) 平方程的比( 平方程的比( 美元平方平方平方平方平方程) 平方平方平方平方程的比( 1-美元平方平方平方平方平方平方程的比( 美元平方平方平方程) 平方程的比) 平方程的比( 平方程的比( 平方程的比( 美元平方平方程) 美元平方程的比值) 平方程的比值平方程的比( 1-美元平方程的比) 3-美元平方平方程的比) 美元平方程、平方程平方平方平方平方平方平方平方平方平方程的比的比值