Given an arbitrary matrix $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$, we consider the fundamental problem of computing $Ax$ for any $x\in\mathbb{R}^n$ such that $Ax$ is $s$-sparse. While fast algorithms exist for particular choices of $A$, such as the discrete Fourier transform, there is currently no $o(n^2)$ algorithm that treats the unstructured case. In this paper, we devise a randomized approach to tackle the unstructured case. Our method relies on a representation of $A$ in terms of certain real-valued mutually unbiased bases derived from Kerdock sets. In the preprocessing phase of our algorithm, we compute this representation of $A$ in $O(n^3\log n)$ operations. Next, given any unit vector $x\in\mathbb{R}^n$ such that $Ax$ is $s$-sparse, our randomized fast transform uses this representation of $A$ to compute the entrywise $\epsilon$-hard threshold of $Ax$ with high probability in only $O(sn + \epsilon^{-2}\|A\|_{2\to\infty}^2n\log n)$ operations. In addition to a performance guarantee, we provide numerical results that demonstrate the plausibility of real-world implementation of our algorithm.


翻译:根据任意的 $A\ in\ mathbb{R\\\ ntime n$ 任意的矩阵 $A\ in\ mathb{R\\\\ n美元,我们考虑到计算美元美元的任何美元的基本问题。在计算美元的任何美元时,美元是美元,例如离散的Fourier变换,虽然存在对美元的特定选择的快速算法,但目前没有处理非结构化案件的$(n\\\\ 2美元)算法。在本文中,我们设计了一种随机化的处理非结构化案例的方法。我们的方法依赖于以来自Kerdock 的某种实际价值的相互公正基数计算$A$。在我们算法的预处理阶段,我们算出美元代表的美元代表是美元,而如果任何单位的矢量 $xin\ mathb{ { 美元处理非结构化案件,那么我们随机化的快速变换方式使用美元代表制的这个代表, 仅以美元= 美元\\\\\\\\\\ 美元 $Ax 美元高概率的运行。

0
下载
关闭预览

相关内容

FAST:Conference on File and Storage Technologies。 Explanation:文件和存储技术会议。 Publisher:USENIX。 SIT:http://dblp.uni-trier.de/db/conf/fast/
专知会员服务
76+阅读 · 2021年3月16日
专知会员服务
123+阅读 · 2020年9月8日
Keras François Chollet 《Deep Learning with Python 》, 386页pdf
专知会员服务
151+阅读 · 2019年10月12日
机器学习入门的经验与建议
专知会员服务
92+阅读 · 2019年10月10日
LibRec 精选:AutoML for Contextual Bandits
LibRec智能推荐
7+阅读 · 2019年9月19日
强化学习的Unsupervised Meta-Learning
CreateAMind
17+阅读 · 2019年1月7日
Unsupervised Learning via Meta-Learning
CreateAMind
42+阅读 · 2019年1月3日
meta learning 17年:MAML SNAIL
CreateAMind
11+阅读 · 2019年1月2日
A Technical Overview of AI & ML in 2018 & Trends for 2019
待字闺中
16+阅读 · 2018年12月24日
FastText的内部机制
黑龙江大学自然语言处理实验室
5+阅读 · 2018年7月25日
Hierarchical Disentangled Representations
CreateAMind
4+阅读 · 2018年4月15日
【论文】变分推断(Variational inference)的总结
机器学习研究会
39+阅读 · 2017年11月16日
【学习】Hierarchical Softmax
机器学习研究会
4+阅读 · 2017年8月6日
已删除
将门创投
7+阅读 · 2017年7月11日
Arxiv
0+阅读 · 2021年7月4日
Arxiv
0+阅读 · 2021年6月30日
Arxiv
3+阅读 · 2018年10月18日
VIP会员
相关资讯
LibRec 精选:AutoML for Contextual Bandits
LibRec智能推荐
7+阅读 · 2019年9月19日
强化学习的Unsupervised Meta-Learning
CreateAMind
17+阅读 · 2019年1月7日
Unsupervised Learning via Meta-Learning
CreateAMind
42+阅读 · 2019年1月3日
meta learning 17年:MAML SNAIL
CreateAMind
11+阅读 · 2019年1月2日
A Technical Overview of AI & ML in 2018 & Trends for 2019
待字闺中
16+阅读 · 2018年12月24日
FastText的内部机制
黑龙江大学自然语言处理实验室
5+阅读 · 2018年7月25日
Hierarchical Disentangled Representations
CreateAMind
4+阅读 · 2018年4月15日
【论文】变分推断(Variational inference)的总结
机器学习研究会
39+阅读 · 2017年11月16日
【学习】Hierarchical Softmax
机器学习研究会
4+阅读 · 2017年8月6日
已删除
将门创投
7+阅读 · 2017年7月11日
Top
微信扫码咨询专知VIP会员