We study a classic problem introduced thirty years ago by Eades and Wormald. Let $G=(V,E,\lambda)$ be a weighted planar graph, where $\lambda: E \rightarrow \mathbb{R}^+$ is a length function. The Fixed Edge-Length Planar Realization problem (FEPR for short) asks whether there exists a planar straight-line realization of $G$, i.e., a planar straight-line drawing of $G$ where the Euclidean length of each edge $e \in E$ is $\lambda(e)$. Cabello, Demaine, and Rote showed that the FEPR problem is NP-hard, even when $\lambda$ assigns the same value to all the edges and the graph is triconnected. Since the existence of large triconnected minors is crucial to the known NP-hardness proofs, in this paper we investigate the computational complexity of the FEPR problem for weighted $2$-trees, which are $K_4$-minor free. We show its NP-hardness, even when $\lambda$ assigns to the edges only up to four distinct lengths. Conversely, we show that the FEPR problem is linear-time solvable when $\lambda$ assigns to the edges up to two distinct lengths, or when the input has a prescribed embedding. Furthermore, we consider the FEPR problem for weighted maximal outerplanar graphs and prove it to be linear-time solvable if their dual tree is a path, and cubic-time solvable if their dual tree is a caterpillar. Finally, we prove that the FEPR problem for weighted $2$-trees is slice-wise polynomial in the length of the longest path.


翻译:我们研究了30年前Eades 和 Wormald 引入的经典问题。 让 $G = (V, E, g, glambda) 是一个加权平面图, 其中 $\ lambda: E\ rightrow \ mathb{R ⁇ $ 是长函数。 即使 $\ langth Planal Realization 问题( FEPR 短) 询问是否存在一个平面直线实现$G$, 也就是说, 平面直线绘制$G$的平面图, 其中每个边缘$ 的Eucliidean 长度是 $lam (e) 美元。 Cabello, Demaine, 和 Rotee 显示 FPR 问题是长期的, 即使$lightbda 直线直线直线直线直线直线显示其直径直径直径直径直径直径直径直径直径直径直径直径直径直径直径直径直径直径直径直径直径直径直径直径直直径直径直径直径直径直至直直直直直直直直直直直直直直直至直直直直直直直直直直直直至直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直至直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直至直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直至直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直至直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直直

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