Let $G$ be a graph with vertex set $V$. Two disjoint sets $V_1, V_2 \subseteq V$ form a coalition in $G$ if none of them is a dominating set of $G$ but their union $V_1\cup V_2$ is. A vertex partition $\Psi=\{V_1,\ldots, V_k\}$ of $V$ is called a coalition partition of $G$ if every set $V_i\in \Psi$ is either a dominating set of $G$ with the cardinality $|V_i|=1$, or is not a dominating set but for some $V_j\in \Psi$, $V_i$ and $V_j$ form a coalition. The maximum cardinality of a coalition partition of $G$ is called the coalition number of $G$, denoted by $\mathcal{C}(G)$. A $\mathcal{C}(G)$-partition is a coalition partition of $G$ with cardinality $\mathcal{C}(G)$. Given a coalition partition $\Psi=\{V_1, V_2,\ldots, V_r\}$ of $G$, a coalition graph $CG(G, \Psi)$ is associated on $\Psi$ such that there is a one-to-one correspondence between its vertices and the members of $\Psi$. Two vertices of $CG(G, \Psi)$ are adjacent if and only if the corresponding sets form a coalition in $G$. In this paper, we first show that for any graph $G$ with $\delta(G)=1$, $\mathcal{C}(G)\leq 2\Delta(G)+2$, where $\delta(G)$ and $\Delta(G)$ are the minimum degree and the maximum degree of $G$, respectively. Moreover, we characterize all graphs $G$ with $\delta(G)\leq 1$ and $\mathcal{C}(G)=n$, where $n$ is the number of vertices of $G$. Furthermore, we characterize all trees $T$ with $\mathcal{C}(T)=n$ and all trees $T$ with $\mathcal{C}(T)=n-1$. This solves partially one of the open problem posed in \cite{coal0}. On the other hand, we theoretically and empirically determine the number of coalition graphs that can be defined by all coalition partitions of a given path $P_k$. Furthermore, we show that there is no universal coalition path, a path whose coalition partitions defines all possible coalition graphs. These solve two open problems posed by Haynes et al. \cite{coal1}.


翻译:美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元

0
下载
关闭预览

相关内容

神经常微分方程教程,50页ppt,A brief tutorial on Neural ODEs
专知会员服务
71+阅读 · 2020年8月2日
因果图,Causal Graphs,52页ppt
专知会员服务
246+阅读 · 2020年4月19日
【2019-26期】This Week in Extracellular Vesicles
外泌体之家
11+阅读 · 2019年6月28日
Hierarchically Structured Meta-learning
CreateAMind
26+阅读 · 2019年5月22日
Transferring Knowledge across Learning Processes
CreateAMind
27+阅读 · 2019年5月18日
A Technical Overview of AI & ML in 2018 & Trends for 2019
待字闺中
16+阅读 · 2018年12月24日
disentangled-representation-papers
CreateAMind
26+阅读 · 2018年9月12日
【 关关的刷题日记47】Leetcode 38. Count and Say
最佳实践:深度学习用于自然语言处理(三)
待字闺中
3+阅读 · 2017年8月20日
【学习】Hierarchical Softmax
机器学习研究会
4+阅读 · 2017年8月6日
Arxiv
0+阅读 · 2022年1月21日
Arxiv
0+阅读 · 2022年1月21日
Arxiv
0+阅读 · 2022年1月20日
Arxiv
0+阅读 · 2022年1月19日
Arxiv
0+阅读 · 2022年1月19日
VIP会员
相关资讯
【2019-26期】This Week in Extracellular Vesicles
外泌体之家
11+阅读 · 2019年6月28日
Hierarchically Structured Meta-learning
CreateAMind
26+阅读 · 2019年5月22日
Transferring Knowledge across Learning Processes
CreateAMind
27+阅读 · 2019年5月18日
A Technical Overview of AI & ML in 2018 & Trends for 2019
待字闺中
16+阅读 · 2018年12月24日
disentangled-representation-papers
CreateAMind
26+阅读 · 2018年9月12日
【 关关的刷题日记47】Leetcode 38. Count and Say
最佳实践:深度学习用于自然语言处理(三)
待字闺中
3+阅读 · 2017年8月20日
【学习】Hierarchical Softmax
机器学习研究会
4+阅读 · 2017年8月6日
相关论文
Top
微信扫码咨询专知VIP会员