We study the problem of deciding reconfigurability of target sets of a graph. Given a graph $G$ with vertex thresholds $\tau$, consider a dynamic process in which vertex $v$ becomes activated once at least $\tau(v)$ of its neighbors are activated. A vertex set $S$ is called a target set if all vertices of $G$ would be activated when initially activating vertices of $S$. In the Target Set Reconfiguration problem, given two target sets $X$ and $Y$ of the same size, we are required to determine whether $X$ can be transformed into $Y$ by repeatedly swapping one vertex in the current set with another vertex not in the current set preserving every intermediate set as a target set. In this paper, we investigate the complexity of Target Set Reconfiguration in restricted cases. On the hardness side, we prove that Target Set Reconfiguration is PSPACE-complete on bipartite planar graphs of degree $3$ or $4$ and of threshold $2$, bipartite $3$-regular graphs of threshold $1$ or $2$, and split graphs, which is in contrast to the fact that a special case called Vertex Cover Reconfiguration is in P for the last graph class. On the positive side, we present a polynomial-time algorithm for Target Set Reconfiguration on graphs of maximum degree $2$ and trees. The latter result can be thought of as a generalization of that for Vertex Cover Reconfiguration.
翻译:我们研究如何决定某一图表中目标集的可重新配置问题。 在目标组的重新配置问题中, 如果有两个目标组的美元和相同大小的美元, 我们就需要确定一个动态过程, 通过反复交换当前组合中的一个顶点和另一个非当前组合中的顶点来将每个中间部分保留为设定的目标, 顶点组的美元将被称为一个目标组。 在本文中, 如果在初始启动美元垂直值时所有顶点都会激活美元。 在目标组的重新配置问题中, 如果有两个目标组的美元和相同大小的美元, 我们就需要确定 $X$ 是否可以通过反复交换当前组合中的一个顶点来转换为$Y$。 在本文中, 顶点设置 $ 的顶点是所有目标组重新配置的复杂程度。 在硬度方面, 我们证明 目标组的重新配置是三美元或四美元的双面平方平方平面平面平面平面图图中, 两平面平面平面的平面平面图中, 两平面平面的平面的平面图中, 平面平面平面的平面的平面平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面, 平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面, 平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的