We develop a theoretical framework for $S_n$-equivariant quantum convolutional circuits, building on and significantly generalizing Jordan's Permutational Quantum Computing (PQC) formalism. We show that quantum circuits are a natural choice for Fourier space neural architectures affording a super-exponential speedup in computing the matrix elements of $S_n$-Fourier coefficients compared to the best known classical Fast Fourier Transform (FFT) over the symmetric group. In particular, we utilize the Okounkov-Vershik approach to prove Harrow's statement (Ph.D. Thesis 2005 p.160) on the equivalence between $\operatorname{SU}(d)$- and $S_n$-irrep bases and to establish the $S_n$-equivariant Convolutional Quantum Alternating Ans\"atze ($S_n$-CQA) using Young-Jucys-Murphy (YJM) elements. We prove that $S_n$-CQA are dense, thus expressible within each $S_n$-irrep block, which may serve as a universal model for potential future quantum machine learning and optimization applications. Our method provides another way to prove the universality of Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA), from the representation-theoretical point of view. Our framework can be naturally applied to a wide array of problems with global $\operatorname{SU}(d)$ symmetry. We present numerical simulations to showcase the effectiveness of the ans\"atze to find the sign structure of the ground state of the $J_1$-$J_2$ antiferromagnetic Heisenberg model on the rectangular and Kagome lattices. Our work identifies quantum advantage for a specific machine learning problem, and provides the first application of the celebrated Okounkov-Vershik's representation theory to machine learning and quantum physics.
翻译:我们开发了一个理论框架, 用于 $S_ n$- Qequivaration 量子共变电路 。 特别是, 我们使用 okounkov- Vershik 方法来证明 Harrow 的“ 更替” 量子计算机( PQC) 格式化。 我们显示, 量子电路是Fleier 空间神经结构的自然选择, 提供了超快的加速计算 $S_ n$- fourer 基数的矩阵元素, 与最著名的经典快速 Fortier变换( FFT ) 相比。 特别是, 我们利用 Okounkov- Vershik 方法来证明约旦的“ 更替” 量子计算机的“ 量子计算 ” 。 我们的“ 更替” 直系“ 直径” 的“ 直径” 直径“ 直径” 和“ 直径” 直径” 的“ 直径” 工具, 我们证明了“ 直径” 直径” 直径” 的“ 直径” 的“ 直径” 直径”, 我们的“ 直径“ 直径”, 的“ 直“ 的“ 直” 的“ 直” 的“, 向” 向” 向” 的“ 直” 的“ 直径基” 平方” 的“ 的“ 平方” 向” 向” 向” 的“ 的“ 的“ 的“直径” 向” 向” 的“ 的“ 向” 向” 向” 的“ 向” 的“直” 向” 的“ 的“ 的“ 的“ 的“ 的“ 的“ 的“ 的” 的“ 的” 的“ 的” 的“ 向” 的“ 向” 向” 向” 的“ 的“ 向” 的“,为” 的“ 的” 的“ 的“ 向” 向” 向” 的“ 的“ 。” 向” 向” 向” 的“