从零开始学习「张氏相机标定法」（五）优化算法正传

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从零开始学习「张氏相机标定法」（五）优化算法正传

2018 年 3 月 25 日 计算机视觉life sixgod

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前一篇《从零开始学习「张氏相机标定法」（四）优化算法前传》花了不少篇幅介绍了最简单的求解无约束优化问题的梯度下降法，这篇我们从算法的演进方向分别介绍牛顿法、高斯牛顿法、Levenberg-Marquardt（LM）法。

牛顿法

介绍牛顿法之前，我们先来看看它到底有什么优势？能够解决什么问题？这样才有兴趣去了解它。

前面文章中介绍了梯度下降法在山谷中容易出现锯齿状的迭代，如下图所示。从不同的初始值开始迭代所需要的迭代次数会产生非常大的差异。

这种锯齿状的迭代，可以通过牛顿法来避免。对于同样的目标函数，使用牛顿法在不同的初始值位置（下图中蓝色十字），只需要3、4次迭代即可找到最小值（下图中绿色十字）。

知道了牛顿法相较于梯度下降法的优势了，那么牛顿法是怎么来的？原理是什么？

首先回顾一下，泰勒展开的通式，如下：

待优化的目标函数和前面一样：

我们将目标函数在x处进行二阶泰勒展开。对照上述通式，目标函数泰勒展开如下：

其中 J(x) 是 ||f(x)||2 关于x的Jacobian矩阵（一阶导数），H(x)则是Hessian矩阵（二阶导数）。

什么是Jacobian矩阵和Hessian矩阵呢？

Jacobian矩阵

假设函数 f = {f1(x1,...,xn), .., fm((x1,...,xn))} 有m维空间组成，对应n个自变量。那么函数 f 的一阶偏导数（如果存在）可以组成一个m行n列的矩阵，称为Jacobian（译为雅克比）矩阵

Hessian矩阵

假设有一个实数函数 f(x1,...,xn)，如果函数 f 的所有二阶偏导数存在，那么称如下矩阵为Hessian矩阵，它是一个n x n 的方阵。

而梯度下降法可以认为是泰勒展开式中只取到了一阶项，二阶项后面的部分丢弃。而在牛顿法中，泰勒展开中取到二阶导数，我们的目标函数变为：

对其关于△x求导，并令其为0，可以得到步长

类似于梯度下降法，我们用上述步长来迭代优化，最终收敛到极值点。这个过程就称为牛顿法。

牛顿法相比于梯度下降法的优点是什么呢? 为什么会有这样的优点？我们来直观的理解一下。

如下图所示。红点和蓝点的梯度（一阶导数）是一样的，但是红点出的二阶导数比蓝点大，也就是说在红点处梯度变化比蓝点处更快，那么最小值可能就在附近，因此步长就应该变小；而蓝点处梯度变化比较缓慢，也就是说这里相对平坦，多走一点也没事，那么可以大踏步往前，因此步长可以变大一些。所以我们看到牛顿法迭代优化时既利用了梯度，又利用了梯度变化的速度（二阶导数）的信息。

从几何上说，牛顿法就是用一个二次曲面去拟合你当前所处位置的局部曲面，而梯度下降法是用一个平面去拟合当前的局部曲面，通常情况下，二次曲面的拟合会比平面更好，所以牛顿法选择的下降路径会更符合真实的最优下降路径。

从本质上去看，牛顿法是二阶收敛，梯度下降是一阶收敛，所以牛顿法收敛更快。比如你想找一条最短的路径走到一个盆地的最底部，梯度下降法每次只从你当前所处位置选一个坡度最大的方向走一步，牛顿法在选择方向时，不仅会考虑坡度是否够大，还会考虑你走了一步之后，坡度是否会变得更大。所以，可以说牛顿法比梯度下降法看得更远一点，能更快地走到最底部。也就是说梯度下降法更贪心，只考虑了眼前，反而容易走出锯齿形状走了弯路；而牛顿法目光更加长远，所以少走弯路。

有人会问了，牛顿法既然那么好，为啥还有后续的高斯牛顿法、LM法？牛顿法肯定有什么缺点吧？

是的，牛顿法确实有比较明显的缺点。前面推导过程，可以看到：牛顿法中包含了Hessian 矩阵的计算。而在高维度下计算Hessian 矩阵需要消耗很大的计算量，很多时候甚至无法计算。

下面介绍高斯牛顿法，看看它是怎么改进牛顿法这个缺点的。

高斯牛顿法

高斯牛顿（Gauss-Newton）法是对牛顿法的一种改进，它用雅克比矩阵的乘积近似代替牛顿法中的二阶Hessian 矩阵，从而省略了求二阶Hessian 矩阵的计算。下面来看看高斯牛顿法是怎么一步步推导来的。

牛顿法中我们是将目标函数 f(x+△x)^2 进行泰勒展开，而在高斯牛顿法中，我们对 f(x+△x) 进行一阶泰勒展开，如下：

前面我们说过，我们要确定一个步长，使得目标函数

达到最小，将一阶泰勒展开代入，问题转化为如下最小二乘问题：

展开后可得：

对△x求导并令导数为0，可得：

则有：

其中我们把J^TJ作为牛顿法中Hessian矩阵的近似，从而用求一阶雅克比矩阵代替了直接求二阶Hessian矩阵的过程。上述就是高斯牛顿法中步长的推导过程。

这个结果完美吗？No!

我们知道牛顿法中，要求Hessian矩阵是可逆的并且正定。但在高斯牛顿法中，用来近似Hessian矩阵的J^TJ可能是奇异矩阵或者病态的，此时会导致稳定性很差，算法不收敛。

另外一个不可忽视的问题是，由于前面我们采用二阶泰勒展开来进行的推导，而泰勒展开只是在一个较小的范围内的近似，因此如果高斯牛顿法计算得到的步长较大的话，上述的近似将不再准确，也会导致算法不收敛。

肿么办？LM算法可以修正上述问题。

LM法

Levenberg-Marquardt（LM）法在一定程度上修正了高斯牛顿法的缺点，因此它比高斯牛顿法更加鲁棒，不过这是以牺牲一定的收敛速度为代价的--它的收敛速度比高斯牛顿法慢。

下面来看看LM算法到底怎么修正高斯牛顿法的缺点的。

LM算法中定义的步长为：

其中I是单位矩阵，u是一个非负数。如果 u 取值较大时，uI 占主要地位，此时的LM算法更接近一阶梯度下降法，说明此时距离最终解还比较远，用一阶近似更合适。反之，如果 u 取值较小时，H 占主要地位，说明此时距离最终解距离较近，用二阶近似模型比较合适，可以避免梯度下降的“震荡”，容易快速收敛到极值点。因此参数 u 不仅影响到迭代的方向还影响到迭代步长的大小。

设x初值为x0，根据经验可以设置u的初值u0为：