为爱情建立数学模型：好比动态系统的恋爱关系

探讨健康、财富、爱情的数学自救指南

让我们回到你第一次见到的那一刻。为了数学化互动的过程，让我们来介绍下面的变量和参数。

1. 用   [   是英语中“ 你的（your）” 的缩写] 来表示你对   的感觉强度， 对你的感觉用   表示，同样假设正值表示喜欢对方，负值表示不喜欢对方。（比如 ， 表示你喜欢。）

2. 在约会的过程中， 值和   值也会随着时间的推移而发生改变。所以让我们用  （ 读作   的导数）表示你对   感觉的瞬时变化， 表示   对你感觉的瞬时变化。实际上，我们都有非瞬时的反应时间，但是这种假设让数学过程更加简单。

3. 在你们看到对方的一瞬间，都会有一个对彼此的第一印象。我们用   表示   对你的吸引力， 表示你对   的吸引力。你们两个人已经对彼此有着深刻的了解（你们一直在发短信和电子邮件，记得吗？），所以   和   不仅仅量化了身体上的吸引力，还量化了其他的理想特征，比如社会经济地位或者文化传承，等等。

当然，还有很多其他潜在的相关因素，但是我希望你们同意这些变量和参数能够描述你和   之间最初互动的核心。

我们现在要做的，就是找 出    和  与  、、  和   的相关关系。让我们通过逐秒跟踪场景来实现这一点。

让我们从第一印象开始。第一印象肯定会影响你和   对彼此的感觉，所以   和   的方程应该分别包含   和  。 但是我们不知道确切的影响程度，所以，让我们将方程   定义为描述   吸引力对于你对   感觉的影响的函数。类似地，方程   是描述你吸引力对于   对你的感觉的影响的函数。我们将   和   想象成一种“兴趣函数”，基于对方的吸引力，描述一个人对于另一个人的兴趣。2 然后，我们可以写出关于   和   的方程的最初猜想：

 （6-1a）
 （6-1b）

这些方程式表明，一个人对于另一个人的瞬时感觉变化（即   和  ） 等于他们对彼此的兴趣（函数   或者函数  ） 。

 坐了下来，你们两人开始聊天，类似于牛顿第三定律，每一个行动都会导致相应的反应（尽管两者不一定相同或相反）。当你们二人交谈的时候，会接收来自彼此的微妙暗示，这其中包含你们对彼此的感觉。让我们用   和   表示这些——你对于他对你的感觉的反应为   （即你 对的 感觉的反应） ，  对你对他的感觉的反应 为。 现将我们的模型更新为：

 （ 6-2a）
   （6-2b）

现在这个模型包含了最初的兴趣水平和你们对彼此感觉的持续反应。

最后，让我们快进到这次约会的结束 ，  离开之后，你依然在思考这次约会。但是时间奔流向前，你的思路会回归到日常生活之上。实际上，这意味着你对   的感觉强度会有所下降。假设这种感觉强度以   的速度呈指数下降，而   对你的感觉以  的速度呈指数下降（两者均为正数）。我们将这两个额外的假设通过添加  项 和   项分别加入式（6-2a）和式（6-2b）。（这样做的原因和微积分有关，请参看附录中的简要解释和对微积分的介绍。） 这让我们得到了该模型的最终版本：

 （6-3a）
 （6-3b）

我很怀疑是否真的能够找到准确的  、、  和   的函数。但是我们能做的是对它们做出简单且现实的假设。[ 举例来说，可以假设你对   的兴趣随着   的吸引力的增加而增加，这意味着   的数值随着   的增加而增加。]这恰好是1998 年两位数学家在分析我们动态系统的时候所做的。得出的结果甚至可以和最好的婚姻治疗师一决高下。

他们发现的第一件事是，这个模型有三个平衡状态，位于平衡状态的每个人对对方的感受都不会改变。此外，他们发现随着时间的推移，伴侣们会朝向这些平衡状态之一“漂移”。

但是一对夫妇最终选择哪种平衡状态取决于他们的另一个发现：伴侣可以分成两类—坚强的和脆弱的。对于坚强的伴侣来说，双方对彼此的感觉 （  和  ） 随着时间的推移越来越积极。他们朝着他们唯一的平衡状态“漂移”：一个幸福的状态，两者互相喜欢（可能甚至是相爱）。此外，无论他们最初对彼此的感觉如何，最终都会发生这种情况。而脆弱的伴侣们则并不那么稳定。他们有三种平衡状态，最终选择哪一种状态取决于他们对彼此的最初感受。如果他们并不是太消极，那么他们的关系最后会演变为一种幸福的状态；如果他们很消极，则最终会以两种不幸福的状态之一而结束关系。[ 关于如何从式（6-3）中推导出这些结论的讨论，请参阅附录。]

这个模型的一个特别有趣的结果是：式（6-2）包含了三条隐含的建议，可以帮助“脆弱”的恋爱关系变得更像“坚强”的恋爱关系：

1. 来自双方足够强烈的兴趣能够确保关系的强大。如果你和   对彼此的兴趣都足够强烈，该模型预测了一个最终平衡的幸福状态。这反映了在选择伴侣时，彼此兼容性的重要性。

2. 减轻冲突对恋爱关系的影响可以避免分手。一对脆弱的情侣可能会陷入一种不幸福的状态，如果他们受到足够严重的打击，则注定要分手。“足够严重”需要满足的条件则来自该模型的另一个特征：它包含一个阈值，该阈值将脆弱情侣的关系分成两种不幸福平衡状态和一种幸福状态。所以如果这对情侣努力提高这个阈值，他们承受打击的能力则会增加，并且不会跨越这个阈值。于是该模型可以预测，这段恋爱关系最终会回到幸福的平衡状态。

3. 提高个人吸引力，可以使双方在平衡状态下拥有更积极的感受。换句话说：每个人都努力地提高自己—更加健康，增加他们的财务稳定性，等等—可以增加恋爱关系中的爱情潜力。

虽然这个“爱情动态”模型距离完备还有很远的距离，但是我希望你和我一样，深刻感受这个恋爱关系建议清单，尤其是考虑到它们居然来自一个数学模型的建议！同时，请注意这个模型的建议和我们在前几章中学到的内容是彼此和谐的。例如，为了保证双方对彼此都有足够的兴趣，模型中的两个人都应该对他们寻找的爱人有足够充分且慎重的想法。这听起来就像是在上一章里，我在你创造属于自己的德雷克方程时给出的建议。类似地，鉴于读者们已经读了整整四章关于提高个人健康水平和财务状况的策略，你再看看上面的第三条建议，获取这些知识有助于增进你们的恋爱关系！（这个数学模型甚至还对于稳定匹配问题有一些建议。）最后，让我强调一下，这个模型的假设具有足够的普遍性，以至于其结果也适用于其他（非恋爱的）关系（例如，员工和老板之间的工作关系）。那么在很多方面，我们这个基于微积分的模型，在更普遍的意义上是一种幸福模型（正如本书的书名那样）。

前面的章节中，我们已经介绍了这个模型的第一条和第三条建议，所以我想着下面部分重说一下第二条建议。

上文摘自联合低音《不可思议的数》, [遇见]已获授权, 特此感谢!

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"数字无处不在。人们用数字来描述商品价格、每天摄入的卡路里数，甚至和多少人约会、每段恋爱持续多长时间等。而你可能没有意识到的是，这些都是数据输入输出的结果。那么问题出现了：我们能够使用数学来改善生活的幸福度吗?

本书作者针对人们长期关心的健康、财富、爱情三方面问题，运用代数、几何、概率等数学家熟练掌握的强大工具，来改善生活的方方面面：不精确计算也能吃得健康又满足；用更少的钱可以还清债款；合理的投资配置助力早日实现财务自由；双方都满意的联合决定，能让恋人成为永不出轨的神仙眷侣等。书中涉及的部分高深课题，也将以风趣、惊喜的方式呈现：试试用合作博弈论来巩固爱情? 或者用计算外星生物的方式来计算幸福?

读者能从渗透在饮食、税收和幸福感的数学中，体会到它的普适易懂与其中蕴含的强大智慧。如果本书唤起你对数学的强烈兴趣，书后的数学主题列表还为你提供了进阶学习的帮助。

前言

涉及数学主题索引

第一部分：若干方程式打造更健康的自己

第一章  我们每天应该摄入多少卡路里

饮食中隐藏的线性函数

新陈代谢的数学

燃烧多余卡路里！解读二次多项式！

消化食物所需要的卡路里

第1章摘要

第二章  吃对的食物，活得更长寿（且更健康）

一场关于营养素的“抢椅子”游戏

身体脂肪与甘油三酯：动态二重奏

为什么蛋白质效果出众

降低碳水化合物摄入的好处

膳食脂肪：是友还是敌

纤维素：被埋没的英雄

如何吃得痛快又健康：能量密度

把握腰围身高比，活得长寿又活力四射

第2章摘要

第二部分：来自数学家的理财指南

第三章  解读你的每月预算

国王归来（线性函数）

买买买，以及以后！

关于金钱，一个19美分的芝士汉堡能教会你的

驯服通货膨胀的猛兽

如何快速解决债务问题

你需要多少年才能达到经济独立

第3章摘要

第四章  如何以华尔街之矛、攻华尔街之盾

如何确保每年15%的收益

最安全的投资

量化投资风险与回报

股票、债券与“全天候式”投资组合

第4章摘要

第三部分  寻找真爱？一个可能的方程式

第五章  寻找“真命之人”

 “寻找外星人”如何教会你找到灵魂伴侣

为什么说雇用秘书就像一场约会

稳定匹配问题

第5章摘要

第六章  与“真命之人”开心幸福地生活

好比动态系统的恋爱关系

需要做出联合决定？有个方程式能帮忙

心理学家如何使用数学来预测离婚

第6章摘要

结语

致谢

附录A：背景内容

参考文献