训练1000层的Transformer究竟有什么困难？

©PaperWeekly 原创 · 作者 | 苏剑林

单位 | 追一科技

研究方向 | NLP、神经网络

众所周知，现在的 Transformer 越做越大，但这个“大”通常是“宽”而不是“深”，像 GPT-3 虽然参数有上千亿，但也只是一个 96 层的 Transformer 模型，与我们能想象的深度相差甚远。是什么限制了 Transformer 往“深”发展呢？可能有的读者认为是算力，但“宽而浅”的模型所需的算力不会比“窄而深”的模型少多少，所以算力并非主要限制，归根结底还是 Transformer 固有的训练困难。一般的观点是，深模型的训练困难源于梯度消失或者梯度爆炸，然而实践显示，哪怕通过各种手段改良了梯度，深模型依然不容易训练。

近来的一些工作（如 Admin [1]）指出，深模型训练的根本困难在于“增量爆炸”，即模型越深对输出的扰动就越大。上周的论文《DeepNet: Scaling Transformers to 1,000 Layers》[2] 则沿着这个思路进行尺度分析，根据分析结果调整了模型的归一化和初始化方案，最终成功训练出了 1000 层的 Transformer 模型。整个分析过程颇有参考价值，我们不妨来学习一下。

增量爆炸

原论文的完整分析比较长，而且有些假设或者描述细酌之下是不够合理的。所以在本文的分享中，笔者会尽量修正这些问题，试图以一个更合理的方式来得到类似结果。

假设损失函数为 ， 是它的参数，考虑参数由 变为 时损失函数的增量：

对于 SGD 有 ，那么 。设模型有 层，每层的平均参数量为 ，配合 Xavier 初始化以及各种 Normalization 手段，我们可以使得多数参数的梯度是 量级，所以有 。因此，模型每一步的更新量是正比于模型深度 的（宽度不在本文讨论范围），如果模型越深，那么更新量就越大，这意味着初始阶段模型越容易进入不大好的局部最优点，然后训练停滞甚至崩溃，这就是“增量爆炸”问题。

这时候解决方法有两个，一是初始阶段用更小的学习率进行训练（不超过 量级），然后慢慢增大学习率，这就是 Warmup 技巧；二就是调整初始化方案，使得参数的梯度是 量级，这样就自动抵消掉模型深度的影响。

量级分析

怎么做到第二种方案呢？我们可以尝试分析 Transformer 的梯度。然而，精确的梯度求起来比较繁琐，并且事实上我们也不需要精确的梯度，而只是要对梯度做一个量级分析，所以我们可以用如下的“量级分解”技巧转化为标量的导数问题。

对于一个矩阵 ，我们将其分解为 的形式，其中

说白了，我们就是要将一个矩阵分解为一个标量 与一个尽可能正交的矩阵 之积。由于 接近正交矩阵，它起到了一个标准参考系的作用，而对应的 则代表了矩阵 的量级。如果 使用 Xavier 初始化，那么 相当于其中的 gain 参数，即在 Xavier 初始化的基础上还要再乘一个 。这是因为 Xavier 初始化的结果就接近一个正交矩阵，这一点可以参考《从几何视角来理解模型参数的初始化策略》 [3] 。

在此分解之下，我们有

这意味着 跟 在量级上是成正比的，所以对 做量级分析就相当于对 做量级分析。这样原来的矩阵求导就可以转化为标量求导，降低了分析难度。

前馈梯度

很多实验结果都显示虽然 Pre Norm 比 Post Norm 更容易训练，但 Post Norm 的最终效果往往更好些，所以原论文保留了 Post Norm 结构，并考虑了更一般的形式：

其中 是一个常数。简单起见，我们先考虑 FFN 层，此时

这里的 是激活函数，一般为 ReLU 或其变体（Swish、GeLU等），它们（近似）满足 。使用前一节的量级分解，我们得到

求 的梯度：

我们断言 都是 的，并且由于 都接近正交矩阵，所以 也是 的，因此最终有

自注意力

现在考虑自 Self Attention，作为量级分析，我们考虑单头注意力即可，其形式为

其中 是 softmax 操作的简写，这里省略了 Attention 的 scale 操作。对上式进行量级分解后的形式为

现在我们可以对各个 分别求梯度，而由于 softmax 的存在，事实上 的梯度本身会很小，不会明显影响最终的更新量，所以其实我们考虑 的更新量足矣：

同样断言 都是 的，并且注意 softmax 出来是一个概率分布，然后对 的各个 token 做加权平均，通常而言，平均前后的向量会在同一数量级，所以我们认为 也是 的，因此结果跟 FFN 层的类似：

初步结论

现在不管是 FFN 还是 Self Attention，我们都得到了相似的结论，现在简单起见，假设每个参数的量级（至少在初始化阶段）是一致的，即所有的 取同一个值，那么总的结论是

即梯度的量级是 。另一方面，我们说 层的 Transformer 模型，一般是 层的 Self Attention 加 层的 FFN，所以严格来说层数是 。因此，按照“增量爆炸”一节的分析，我们需要将梯度调整到 ，上式告诉我们可以通过让 来实现。原论文的放缩更为宽松一些，得到的结果是 ，量级上是等价的。

现在我们得到了 与 的一个比例关系，但无法直接得到 和 的具体值。按照论文的说法，是从对称角度出发，让 ，从而可以解得

然而，单纯对称的解释显然是不够说服力的，我们需要搞清楚不同的选择究竟有什么不同的结果。为此，我们可以比较另外两组解：

另解一： ，此时参数的初始化缩小到原来的 倍，梯度也被缩小到原来的 倍，根据 SGD 的 得出每步的更新量也是原来的 倍，也就是说，调整前后的相对学习幅度是没有变化的，因此有可能刚开始 级别，但训练集几步后就脱离了这个量级了。

另解二： ，此时参数的初始化没有缩小，但梯度也被缩小到原来的 倍，根据 SGD 的 得出每步的更新量也是原来的 倍，调整前后的相对学习幅度是明显缩小了，因此有可能出现学习得非常慢的情况。

这两种情况看上去都各有缺点，因此介乎两者之间的式（14）似乎就能解释得通了，它就是保持梯度缩放到原来的 倍的同时，让初始学习步伐稍微慢一些，但又不至于太慢，隐式地起到了 Warmup 的作用。

多种优化

上面的分析都是基于 SGD 进行的，但事实上我们很少直接用 SGD 去训练 NLP 模型，我们更多是自适应学习率优化器，主要有两大类：一是用二阶矩来校正学习率，Adam、AdamW 等都属此类；另一类是通过参数模长进一步校正学习率，比如 LAMB [4]、AdaFactor [5]。原论文的说法是“我们在 SGD 上进行推导，然后在Adam上验证发现也还可以”，但从理论上来讲，它们并不完全通用，这一节我们就来针对性地做一下分析。

对于 Adam 类优化器来说，每一步的更新量大约为 ，所以 ，它是正比于梯度的 1 次方而不是 2 次方，因此要过要让更新量跟层数无关，那么梯度应该缩小到原来的 倍才对，即应该有 ，如果同样让 ，那么有

对于 LAMB 类优化器来说，每一步更新量大约为 ，所以 ，注意到参数的缩放比例是 、梯度的缩放比例是 ，从而是 。注意这类优化器每步的相对更新量是一样的（等于学习率 ），所以不管怎么调整相对更新大小都不会变化，所以我们可以直接取 。

结果汇总对比如下：

事后分析

前面的两节推导过程都用到了断言“ 都是 的”，那么它是否成立呢？这里我们事后分析一下。

其实也很简单，经过前述调整后，不管是 FFN 层（6）还是 Self Attention 层 （10），初始阶段每个残差分支的权重被缩放到原来的 倍，不管是哪种优化器的结果， 都是一个比较小的数字，这意味着初始阶段整个模型其实接近一个恒等函数，因此 自然都是 的，所以结论和断言是自洽的。

另外，可能有读者想问同样的分析是否可以用到 Pre Norm 结构上呢？答案是可以的，并且结论是基本一致的，只是因为 Norm 放在了残差分支之前，所以就没必要设置 参数了，所以结论就是上述关于 Post Norm 的结果中所有的 都等于为 1，然后重新计算相应的 。

最后，读者可能有疑问的是花了那么多功夫讨论把模型做深，那么模型深度真有那么重要吗？有，原论文给出了一个漂亮的实验结果，用一个 200 层的“深而窄”的模型（32 亿参数），战胜了之前48层“浅而宽”的 SOTA 模型（120 亿参数）：

▲ “深而窄”的模型胜于“浅而宽”的模型

文章小结

本文分析了将 Transformer 做“深”的瓶颈所在并给出了相应的解决方案，文章的主要思路源于微软新出的 DeepNet，并对原论文的分析过程做了一定的简化和完善。

参考文献

[1] https://arxiv.org/abs/2004.08249

[2] https://arxiv.org/abs/2203.00555

[3] https://kexue.fm/archives/7180

[4] https://kexue.fm/archives/7094

[5] https://kexue.fm/archives/7302

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