让牛顿发现力学的，除了苹果，还有什么？

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内容来源：2019年7月25~28日，2019年7月28日，在GWC长城会主办的GMIC 2019科学大讲堂上，国际著名数学家和天文学家、千人计划专家夏志宏进行了以“科学认知从简单到复杂：牛顿、三体、混沌”为主题的精彩分享。笔记侠经主办方和讲者审阅授权发布。

作者简介：夏志宏，国际著名数学家和天文学家。

封面设计 & 责编 | 智勇

第  4024  篇深度好文：6154 字 | 10 分钟阅读

精选笔记·科学主义

本文优质度：★★★★★+    口感：百香果酸奶

笔记君说：

看似“无用”的科学，其实对我们生活的方方面面都有很大的帮助。现代生活的一切都是由于科学的发展。

以下，尽情享用~

我今天的主题演讲是：《科学认知从简单到复杂：牛顿、三体、混沌》。

 

我今天讲的跟天文学有关，主要是天文学上的数学问题。

 

现代科学从牛顿开始，牛顿是一位非常了不起的科学家。大家都知道万有引力定律是他发现的，牛顿力学是他发现的，他同时也是发现微积分的人之一。

从一个人对科学的贡献来讲，很少有人可以跟牛顿比。一个人一生做一件事是非常伟大的科学家，而牛顿做了三件。

 

现代科学的历史上有一个传说，牛顿在苹果树下睡午觉的时候，一个苹果掉在他的头上，由此引起了他的灵感，从这个灵感发现了万有引力定律。这也是整个现代科学的起源。

 

我今天主要讲认知的过程，现代科学的开始。现代科学的起源并不是从应用的角度来看待，而是从漫长的好奇心开始的，叫做仰望星空，仰望星空带来了现代科学的发展。另外，“无用”的学问奠定了现代技术和现代科学的发展。

 

一、万有引力定律的开始

大家都觉得牛顿发现万有引力是个偶然的机会，认为他突然得到灵感是从苹果掉到头上，事实上并不是这样，万有引力定律的发现经历了前人很多年的观测结果才得到的。最重要的是开普勒，开普勒发现了行星运动三大定律。

行星运动三大定律是：

 

第一，行星的轨道是椭圆的；

第二，行星的单位时间扫过的面积是一样的；

第三，周期跟半长轴之间有关系。

开普勒三大定律的发现也不是偶然，也不是灵感，而是基于很多科学实验。

 

促进三大定律的发现，有一个主要的原因，有一个叫第谷·布拉赫的丹麦数学家，他用肉眼来观察行星的运动，那时候观测的技术比较差，花了很多精力。当初丹麦的皇帝赞助他在岛上建了天文台，花了很多钱支持他的研究。

 

这个人对天文学的观测奠定了开普勒三大定律的基础，及以后奠定了万有引力定律的开始。

 

开普勒是他的学生，观测了火星的运动，火星在万有引力定律发现的过程中很重要。现在我们知道有八大行星，冥王星不再是行星，而叫做矮行星（ 矮行星，别称侏儒行星、准行星、中行星，是2006年8月24日国际天文联合会－“IAU的行星定义”重新对太阳系内天体分类后新增加的一组独立天体，此定义仅适用于太阳系内 ）。

 

 

这图上一个标注，火星有一个非常大的特征，它的轨道偏心率比较高，在当初的观测情况下，如果没有观测火星的话，大家会认为行星的轨道是圆形的。

比较幸运是，第谷让他最好的学生开普勒本人去观测火星，发现了行星轨道并非圆形，才终于使得牛顿发现了万有引力，并不仅仅是因为一个苹果掉在他的头上。

 

我今天要讲的是稳定性和混沌，这是两个相对立的概念。太阳系是不是稳定这么一个非常自然，也是很基础的问题。

 

当牛顿发现万有引力定律以后，第一个问题是想解决所谓的多体问题，既然有了万有引力，又有牛顿力学，再加上微积分，这样天文学问题就变成了数学问题。如何根据这些物理定律来精确计算行星运动的轨道，就是解一组微分方程。

 

二、稳定性与混沌  

1.三体问题

 

太阳和一个行星放在一起叫二体问题，我们已经知道二体问题的轨道，一般是椭圆形的，并且我们知道二体问题的轨道是稳定的。

 

太阳跟两个行星放在一起就叫三体问题，人们想知道它（ 三体问题 ）的精确轨道，但最后发现三体问题“不可解”。这里所谓的不可解是在经典意义之下。经典意义下的“可解”是指找到足够的对应微分方程的首次积分。

 

太阳系远远超过三体，太阳系有太阳，加上八大行星，行星上有卫星，还有其他很多小天体。整个太阳系是一个庞大的体系，远远超过三体，是一个多体问题。既然三体问题都没法解，用经典的方法去解决太阳系的运动，解决多体问题，显然是更不可能的。

 

我们不禁要问，太阳系是不是稳定的？地球离太阳远就会太冷，离太阳近会太热，现在地球离太阳是一个比较合适的距离，适合人类生存。

 

牛顿认为太阳系是不稳定的。可是太阳系既然是不稳定的，那我们人类怎么得以在地球上生存？

牛顿的解释是，上帝每隔一段时间就来推一下行星，或者说每隔一段时间来推一下地球，让地球回到稳定的轨道上，使得地球的轨道不会偏离正常的轨道太远。

 

这是牛顿的想法，牛顿一直在试图用数学方法来证明上帝的存在，用数学公式来推导上帝什么时候推的地球。

 

那时候刚好是文艺复兴时期，大家，尤其是他的老对手莱布尼茨，对这种想法都持有批判的态度。我说牛顿被苹果砸了以后，脑袋给砸坏了。

 

2.行星的稳定性

 

关于行星的稳定性，历史上基本每一个伟大的科学家都会提出他的见解，其中有些科学家认为它们长期稳定，另外一些科学家们认为是不稳定的。

每一代的科学家对太阳系的稳定有各自的见解，这些见解有时候基于数学分析，有时候就是猜测。

 

我们回到三体问题。大家都知道著名的小说《三体》，小说非常有趣。我刚才说三体问题没办法用经典的方法解出来。现在我们知道三体是一个混沌的系统，一个混沌系统最重要的特征是不可预测，即它的将来不可预测。

 

三体问题，作为一个确定性的系统，短时间内的运动是可以准确预测的。但假如时间很长，人们则不可能预测系统会发生什么。

《三体》小说正是利用了这个特征。书中有三个太阳，三个太阳的运转处于不可预测的状态。

有时三个太阳突然同时出现，高温使星球上的所有生命消失。有时三个太阳很长一段时间都不出现，星球很冷，所有的生命都被冻死。这是《三体》小说的基本科学假设。

 

对我们来讲，我们实际上没必要担心太阳系是否稳定。我们用计算机去算，看看有多少年是基本稳定的。

计算发现，几百万年，甚至上亿年太阳系的稳定性都没有问题，因此我们在实际生活中大可不必担心太阳系是不是稳定的，即使不稳定，也要等到几亿年以后才会显示出来。

 

但我们为什么还是要关心太阳系的稳定性？我趁此机会讲一下科学的发展过程。 科学和技术不一样，科学从来都不是从实用性的角度出发。

 

▲ 长按图片分享给需要的人

现代科学从牛顿力学开始，牛顿力学从天体力学开始，天体力学刚开始是为了满足人们的好奇心。

我们总是想知道一些令我们费解的事，自然会花一些功夫对这些事物进行研究。虽然这些研究的目的并非为了有用，但科学确确实实给人类文明带来革命性的进步。

这跟技术研究不一样， 技术是渐进性的，科学是革命性的。现代生活的一切都是由于科学的发展 。太功利性的去看科学研究是错误的。

 

数学家有一个非常深刻的理论，叫KAM理论（ 一个可积系统在微小的扰动下仍然有稳定解 ），有很多数学家在这上面做出了很大的贡献。某些系统尽管我们不能确定是稳定的，但从大概率的角度来讲是稳定的。

 

稳定性的对立面就是混沌。混沌是和稳定相反的概念。科学的发展、认知的进步使我们发现世界是多元化的，我们发现越来越多的系统事实上是不稳定的，有时候我们可以达到动态的稳定，混沌的系统有时具有动态的稳定性。

 

3.混沌

 

我先讲一些混沌的故事，讲一下怎么发生的，以及什么叫混沌。

 

 

这上面显示的是挪威的皇帝，叫做奥斯卡二世，他是瑞典与挪威的皇帝。瑞典与挪威原来是一个国家，到1905年才分开，因此在1905年以前，他是挪威和瑞典的皇帝，从1905-1907年，他是瑞典的皇帝。他也许是唯一的一个数学皇帝。

 

奥斯卡二世本科读了数学，一直喜欢科学和艺术。他在当皇帝的时候，创立了一个数学杂志，叫Acta Mathematica，该杂志到现在还是数学的四大杂志之一。奥斯卡二世非常喜欢科学与艺术，定期在皇宫组织科学艺术讲堂。

 

在1897年，有一个叫Mitag-Lefler的数学家建议奥斯卡二世设一个科学大奖。这个科学家拍马屁，对皇帝说我们设一个奖，等你70大寿的时候发，叫做奥斯卡二世大奖。两年后的1899年刚好是皇帝的七十岁大寿。

 

这个奖是奖励什么呢？大奖题目是解决三体问题，谁解决了三体问题，就把这个奖给谁！我刚才已经说过，三体问题按照当时的意义是不可解的。但那时并不知道。也就是说大奖出了个无解的问题！

 

顺便提一下这个Mitag-Lefler是什么人，可能大家不熟悉这个数学家是谁。我给大家讲一个故事，大家就可能知道他是谁了。

诺贝尔奖里没有数学奖，为什么呢？

传说诺贝尔的情人被一个数学家拐走了，这个数学家就是Mitag-Lefler。诺贝尔害怕设了数学奖后Mitag-Lefler可能会得奖。当然这只是一个传说。

事实上，Mitag-Lefler的太太也特别漂亮，家里也特别富有，他们夫妇去世后，把所有遗产全数捐给了数学。这一点倒是和诺贝尔很相像。

 

 

这个人是潘勒维，是法国第84、92届总理。我刚才说到皇帝每隔一段时间就请科学家到皇宫去讲科学，在1895年，皇帝请巴黎大学的数学家潘勒维到皇宫做个数学系列讲座，这个系列讲座的第一讲是科普及概要，皇帝亲自参加了第一讲，皇帝很喜欢。

 

在这个讲座里，潘勒维提出了一个猜测，现在叫潘勒维猜测。该猜测一直没有被证明，直到近一百年后，才在我的博士论文里得以解决！

 

为什么会花这么长时间？

因为我们对科学的理解是一步一步发展的，对一个系统的认识，从简单到复杂，从稳定到混沌，需要一个漫长的时间。慢慢地我们发现三体问题、多体问题都是混沌系统。我的证明里利用了多体问题的混沌机制。

 

潘勒维很有意思，他做了数学家以后，突然想从政，他最后当过两届法国总理。刚开始他竞选巴黎议员，成功了。后来当了教育部长，又当了战争部长，最后竞选总统没成功，退其次当了总理。

 

 

回到奥斯卡设的大奖。这是另外一个著名数学家，叫庞加莱。庞加莱跟潘勒维是同期的数学家，其实我证明的猜测是庞加莱和潘勒维共同探讨的猜测。

 

庞加莱写的一篇文章，号称解决了三体问题，发表在Acta Mathematica上。评奖委员会因此决定给他颁发奥斯卡二世大奖。

 

但我们知道三体问题不可解啊！事实上，庞加莱的一个学生很快发现了他的文章有致命错误，他没有能够解决三体问题。庞加莱认识到了文章的错误，特别的是，认识到了三体运动的复杂性。

他重新写了一篇文章，在这篇文章里，混沌现象第一次被描述。另外，庞加莱自己花钱重新印刷、重新发行了那一期的Acta Mathematica杂志，以改写的文章取代了原先错误的文章。这花了庞加莱四个月的工资。

 

鉴于庞加莱的新文章对天体力学开创性的贡献，奥斯卡二世大奖评奖委员会仍然决定颁奖给庞加莱。大奖奖金差不多是庞加莱两个月的工资。

 

 

什么是混沌？

 

我们从一个简单的例子讲起。这幅漫画里坐着的是印度皇帝，地上跪着的是一个数学家，数学家手上抓着一个棋盘，国际象棋的棋盘。这个数学家发明了国际象棋。

 

显然，皇帝非常欣赏这位数学家所发明的国际象棋。把数学家叫到皇宫来，是要问他想要什么样的奖赏。

这个数学家说很简单，你在棋盘里面第一格放1颗麦子，第二格放2颗麦子，第三格放4颗麦子，第四格放8颗麦子，再下面一格放16颗麦子，以此类推，你用这种方式把棋盘放满就够了。

 

皇帝认为这个数学家的要求不是很高，只是要了几颗麦子而已，当即答应了这位数学家的要求。皇帝没想到的是，他根本没有办法满足这一要求！

 

我们现在来看一看总共要多少颗麦子，棋盘上一共有64格，第一格是1，最后一格是2的63次方。大家可能想，这好像并不是太多啊。我们算一下麦子的总数，这是一个几何级数，总和是2的64次方减1。

我们换算一下，大概是140万亿升的麦子。从人类种麦子开始到现在，全世界所有的麦子加起来还不到这个数字。

 

 

从这个例子我们得出的结论是，几何级的增长速度特别快。混沌概念里最基本的一个机理是几何级数。

 

 

我们想象有这么一个盒子，盒子里面放了些气体分子，分子在盒子里面的运动速度非常快。

假如有一个小的偏差，这个偏差第一秒就可能被加倍，第二秒又可能被再次加倍，第三秒又加倍，64秒钟以后，原先很小很小的偏差都被这种方式加倍到2的64次方。

 

我们刚才已经看到2的64次方是什么概念。也就是大概1分多钟以后，原来无论怎么小的误差，对分子运动所带来的后果都是惊人的。分子的初始位置再怎么准确也会有误差，也就是说要精确预报一分钟后的分子位置是完全不可能的。

 

这是混沌系统最基本的机理。它的误差是每隔一段时间就会加倍，混沌可以量化。

一个最简单的量就是系统需要多长时间使其误差加倍。对于空气动力学，分子移动速度比较快，误差可能零点几秒钟就被加倍。太阳系的运动相对其尺度比较慢，它的误差加倍可能需要几十年、几百年。

 

但是它们有一个共同的性质，误差在一次一次的加倍。因为盒子限制了空气运动范围，位置误差不会出现刚才麦子里的天文数字，但在微观上是以加倍的形式出现的。

 

混沌是在小范围，在微观状态下，它的误差以指数形式增长。在数学上叫做正的Lyapunov指数。

 

混沌系统的小误差经过一次一次的加倍，时间长了以后，人们没法预测系统将来的状态。这就是将来不可预测的原理。

 

气象系统，是最典型的混沌系统，是一个将来不可预测的系统。大家可能都有经历，准备周末出去玩儿，一看气象预报，周末是晴天，到周末却发现下大雨。大家可能都会骂气象台无能。

 

事实上气象台很冤枉。气象是一个非常混沌的系统，基本上没有办法长时间去预测。

 

大家可能听说过蝴蝶效应。本来今天广州是晴空万里，但不幸的是有一个小小的蝴蝶两周前在美国芝加哥扇了下它的小小翅膀，它对空气的影响可能一秒钟以后就会加倍，再有一秒钟，这个影响又会被加倍，再过一秒钟，对空气的扰动又会加倍……两个星期以后蝴蝶的效应就到了广州，现在外面乌云密布。

 

 

假如两周前要精确预告今天广州的天气，我们必须知道芝加哥的每一只蝴蝶在两个星期前在干什么，除了蝴蝶以外，还有很多更大的东西，比如人、汽车、飞机、等等。

除了芝加哥，还有纽约，伦敦，等等。可以想象难度有多大，这几乎是不可能的。当然短期气象预告是可以的，但长期预告没有可靠性。

Lorenz吸引子是第一个数学上可以精确描述的混沌系统。Lorenz是MIT的气象学家，他把复杂的气象方程简化成一个简单的三维系统，叫Lorenz 系统。

它从一个初始地方出发，典型的运动是在一边走几圈，然后跑到另外一边走几圈，然后再回到原先的那边走几圈。如此反复，每次所走圈数毫无规律。这也从另外一个方面说明为什么没有长期精确的气象预报。

 

大家可能都觉得混沌非常糟糕。

下面我讲一个混沌系统有用的例子。美国登月计划50年以后，现在中国、美国、英国、印度等大国都想重返太空，上月球、甚至上火星。这需要发很多的太空探测器。

 

1991年4月份，日本发射了Hiten ( Muse-2 )的月球探测器，上天以后才发现燃料不够。也许大家觉得这挺怪的。正常情况下探测器上不会带太多燃料。

 

因为燃料本身也需要燃料把它送上去，多放一斤的燃料就会少放一斤的科学仪器。所以正常情况下燃料只是略有多余。发射过程中的不定因素造成了Hiten的困境。

 

日本向美国宇航局局求救，美国派了一个数学家，叫Edward Belbruno，让他去协助日本人。Belbruno花了一个多月时间，重新设计了轨道。1991年10月成功地把Hiten送到了月球轨道。

 

Belbruno的想法是利用有限的燃料把探测器送到混沌区域，混沌区域飘忽不定，可以覆盖很大区域。稍微花一些燃料推一下，对随后的运动就会有很大的影响，从而可以达到预定的目的。

 

两年后，Belbruno和我联系，他发现我的一篇关于三体运动的文章对他的方法提供了很好的理论基础，如果预先知道我的文章，他就不需要花一个月时间来设计轨道了。

 

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