Aerial Robotics 课程专题四旋翼动力学和系统设计

2018 年 12 月 21 日 无人机

这一节主要描述四旋翼飞行器是如何工作的，讨论四旋翼的基本力学以及如何设计四旋翼飞行器，其次，介绍简单的控制方法，包括设计时需要考虑哪些要素。另外，设计时如何满足四旋翼飞行器的机动性和敏捷性。最后，讨论四旋翼飞行器的尺寸大小对飞行性能的影响。

动力学简介#

四旋翼飞行器是通过调整四个电机的转速来保证其飞行的。每个电机旋转，产生推力向上。

而推力与电机转速成二次方关系。电机旋转也会产生一个转矩，其与电机转速也成二次方关系，如下图蓝色和橙色的曲线显示。

如果是四旋翼，则每个电机负担四分之一重量来保持悬停，根据下图，为了满足推力抵消四分之一的重量，就能确定电机的转速值，如图中的w0，即悬停转速值。这个转速同时也会产生一个电机转矩，每个电机需要克服这个转矩，选取合适的电机就是根据这个来定的，电机产生的力矩要能抵消这个转矩。

悬停时，电机的转速产生的推力能够补偿机身的重力。通过这个重量，就能确定每个电机的悬停转速值，也能够得到每个电机所需的力矩。

如果知道KF和KM系数值，很容易得到合力F，如图所示。

同样的，如果能够知道飞行器的重心位置，飞行器的总力矩M也可以计算出来，包括每个电机产生的推力得到的力矩和顺时针或逆时针旋转产生的力矩（与yaw运动有关）。

悬停状态下，合力F和总力矩M都为零。

但是如果合力F或力矩M不为0时，就会产生加速度。

以高度方向为例，

增大电机转速，就会产生向上的加速度，反之同理。

控制率设计#

以垂直方向的高度控制为例，控制飞行器上升、下降、悬停。

图中，x表示高度方向的位移，加速度即x的二阶导数，根据F=ma，能推出u即F/m的表达式。得到一个简单的二阶微分方程。

控制目标就是确定u，来控制x，即期望的飞行器的高度。

如图所示，控制问题描述成如何确定随时间t变化的u的函数，使得x达到期望的x。

方法：定义一个误差error，表示期望x与实际轨迹x的误差，这样将问题转换成使得这个误差趋于零。

最终：我们需要找到u，使得误差函数满足图中的等式。

得到u的表达式，分成三项，前馈项、微分项和比例项，即PD控制器，前馈项为期望轨迹的变化，期望x的二阶导数。

这个u就是我们所设计的控制率。

P的控制作用，增大控制力度，过大会造成震荡；

D的控制作用，加大阻尼，能够防止系统过冲，过大的话，跟踪反应变得很慢，实际应用时，该项参数过大会放大数据噪声的影响，也能造成震荡；

I的控制作用，抵消比如系统的数学模型误差，或是外界干扰（风）的影响；

PD都参与的时候，系统稳定；只有P控制时，系统临界稳定，不会漂移，在期望高度等幅震荡；PD参数为负数时，系统不稳定。直观理解就是，比如高度方向，向上移动了1m，期望悬停高度在0m，产生一个误差-1m，假设Kp为-1，则产生的控制量u为1，则飞行器继续向上加速，不能跟踪到期望高度0m。

下面介绍几个仿真实验，给予对控制器的直观理解。

实验如图所示，保持飞行器高度悬停，当受到外界干扰时，能自动控制到原来的飞行高度。

当kp过大时

飞行器不能马上稳定在期望高度，总会震荡几下。
Kp过小时，kd参数很大时，

飞行器到达期望高度较慢，时间较长。

以上是基于一个理想模型所设计的简单控制器，那简单的理想模型存在哪些问题？

主要问题就是，我们假设了飞行器的动力充足，能够满足控制器所需的推力，但实际应用时，所设计的推力是有限的，所以就要求设计的控制器生成的控制量在一定范围内。

如图所示，只考虑垂直方向，即电机产生的推力只需与机身重力抗衡，超过重力的推力会产生一个向上的加速度。但是电机的推力，受到最大力矩的限制，假设这个最大力矩已知，那就能得到最大的推力，也就能推测出最大的向上加速度。

如图所示，控制量u的范围是由最大推力和机身重力共同决定的，两者方向相反。

所以，知道了最大推力Tmax，就能知道最大控制量umax。

所以，实际设计的控制率还要考虑这个umax，简单来说，就是高度控制器生成的电机推力（转速PWM）有限幅的。

这个仿真解释了，两个问题：

如果机身不变，选用的电机不一样，控制效果会有什么不同！（不考虑控制器变化）
如果选用的电机一样，机身重量发生了变化，（比如植保飞行器作业时，药剂喷洒造成的负载变化）控制效果如何！

功率#

图中显示了其实验室六种不同的飞行器，不同的负载不同的机身设计。

因为推力负载比不一样，所以消耗的功率必然也不一样。

图中可以简单看出，每1kg，消耗功率约为200w

图中蓝色表示每公斤消耗电力200w，而电池能提供的都超过了200w。这个对选择合适的电池具有帮助。

所以，设计四旋翼飞行器时，要选择电池；要选择合适的电池，就要考虑功率。

这幅图主要描述了功率和能量之间的关系，图中所阐述的意思就是飞行器的效率比人要低很多的，所以需要很多动力，但目前电动常规使用的锂电池不具备这么多的能量，所以办法就是减重，设计更小更轻的四旋翼。（本课程的宗旨就是设计的飞行器能够具有较强的机动性和敏捷性，要能满足在复杂环境下自主飞行）

图示，基本上电池占重约33%，电机占重25%。如果飞行器上增加传感器部件，一样也增加了重量。

比如激光传感器，每移动30m消耗10w，但因为重270g，所以飞行器移动时需要额外消耗50~60W。

总结：当考虑功率消耗时（续航时间），除了负载的重量，同样要考虑负载带来的功耗，以及推力负载比。

敏捷性#

飞行器飞行时，迅速以最大速度飞行，当接近目标位置时，能够产生反向加速度，即出现一个反向的角度，使得飞行器减速到目标位置，这个过程中，由于推力要被分解到水平方向一部分，所以垂直方向抵消重力的推力不够，造成飞行器高度下降。同时，如何减小刹车距离？

另外一个问题就是，如何让飞行器最大速度飞行时，能够尽快转弯，转弯半径尽量小？

以上就是敏捷性能所需考虑的两个问题：如何在最大飞行速度的情况下，迅速刹车以及转弯？

以上图为例，只考虑滚转方向，飞行器的输入包含推力u1和滚转力矩u2，在yz平面上，得到y和z方向的线加速度和滚转角加速度，写成状态方程。

想要快速刹车或快速转弯，就要得到最大的线性加速度和角加速度。

如何计算刹车距离#

这里，课程中并没有讲述，笔者以开源飞控为例

根据允许的最大速度和最大加速度计算出飞行器刹车距离，这个距离会被用来更新目标位置点。

原理：

机动性越差，加速度越小，所需的刹车距离越长。

总结：机动性与飞行器的质量、转动惯性有很大关系。质量越大或转动惯性越大，刹车距离越长；速度越快，所需的刹车距离越大。

器件选择#

上图框架中，高性能板载计算机处理计算量大的任务，比如视觉导航等，然后通过串口给飞控发飞行指令即可。

总结：

尽可能提升推力负载比；
能量消耗除了包含设备本身的消耗外，还要考虑搭载这些设备后的消耗，比如搭载激光传感器后，大约功率50~60瓦；
考虑取舍，比如高级的传感器能够测量的范围很长，所以比如刹车时允许有更长的时间反应，但是设备本身较重，又减小了推力负载比。

尺寸#

首先考虑飞行器的质量，惯性因素，即最大的推力以及最大的力矩。如图所示，质量是轴距一半l的立方，转动惯性约质量乘以l的平方，所以就是l的五次方。

其次是推力，w和r的乘积为电机的转速，而F与电机转速的平方成正比，所以F约等于r2*v2。

最后看下力矩，约等于推力F乘以l。

假设螺旋桨尺寸与L大致相等，得到图中右边最后的表达式。

图中的实验结果表明，电机转速是l的平方根。这个适用于小型飞行器。

有两种缩放关系，具体学术名称不知道，区别在于认为桨叶叶尖速度（这里认为是电机转速）是l的平方根还是为1,。以上，能够推测出大致的推力F要么是l的三次方，要么是平方关系。相同的是，如果飞行器的尺寸越小，最大的角速度就会越大，飞行器越敏捷。得到的最大加速度和最大角加速度的关系就是敏捷性能的体现。

综上所述，几个要点：