函数分布视角下的神经过程

2018 年 9 月 19 日 论智

作者：Kaspar Martens

编译：Bot

编者按：几个月前，Deepmind在ICML上发表了一篇论文《Neural Processes》，提出了一种兼具神经网络高效性和高斯过程灵活性的方法——神经过程，被称为是高斯过程的深度学习版本。虽然倍受关注，但目前真正能直观解读神经过程的文章并不多，今天论智带来的是牛津大学在读PHD Kaspar Märtens的一篇可视化佳作。

在今年的ICML上，研究人员提出了不少有趣的工作，其中神经过程（NPs）引起了许多人的注意，它基于神经网络概率模型，但又可以表示随机过程的分布。这意味着NPs结合了两个领域的元素：

深度学习：神经网络是灵活的非线性函数，可以直接训练
高斯过程：GP提供了一个概率框架，可用于学习非线性函数的分布

两者都有各自的优点和缺点。当数据量有限时，由于本身具备概率性质可以描述不确定性，GP是首选（这和非贝叶斯神经网络不同，后者只能捕捉单个函数，而不是函数分布）；而当有大量数据时，训练神经网络比GP推断更具扩展性，因此优势更大。

神经过程的目标就是实现神经网络和GP的优势融合。

什么是神经过程？

NP是一种基于神经网络的方法，用于表示函数的分布。下图展示了如何建立NP模型，以及训练模型背后的一般想法：

给定一系列观察值(x_i,y_i)，把它们分成“context points”和“target points”两组。现在，我们要根据“context points”中已知的输入输出对(x_c,y_c)，其中c=1,…,C，和“target points”中的未知输入x^∗_t，其中t=1,…,T，预测其相应的函数值y^∗_t。

我们可以把NP看作是根据“context points”中的“target points”建模的模型，相关信息通过潜在空间z从左侧流向右侧，从而提供新的预测。右侧本质上是从x映射到y的有限维嵌入，而z是个随机变量，这就使NP成了概率模型，能捕捉函数的不确定性。一旦模型完成训练，我们就可以用z的近似后验分布作为测试时进行预测的先验。

乍看之下，这种分“context points”和“target points”的做法有点类似把数据集分成训练集和测试集，但事实并非如此，因为“target points”集也是直接参与NP模型训练的——这意味着模型的（概率）损失函数在这个集上有明确意义。这样做也有助于防止模型过拟合和提供更好的泛化性。在实践中，我们还需要反复把训练数据通过随机采样分为“context points”中的“target points”，以获得更全面的概括。

让我们来思考以下两种情况：

基于单个数据集推断函数的分布
当存在多个数据集且它们之间存在某种相关性时，推断函数的分布

对于情况一，常规的（概率）监督学习就能解决：给定一个包含N个样本的数据集，比如(x_i, y_i)，其中i=1,…,N。假设确实存在一个函数f，它能产生y_i=f(x_i)，我们的目标就是学习f的后验分布，然后用它预测测试集上某点的函数值f(x^∗)。

对于情况二，我们则需要从元学习的角度去观察。给定D个数据集，其中d=1,…,D，每个数据集包含N_d个数据对(x_i^(d), y_i^(d))。如果我们假设每个数据集都有自己的基函数f_d，输入x_i后，它们有y_i=f_d(x_i)，那么在这种情况下，我们就可能想要了解每个f_d的后验分布，然后把经验推广到新数据集d^∗上。

对于数据集很多但它们的样本很少的情况，情况二的做法特别有用，因为这时模型学到的经验基于所有f_d，它的内核、超参数是这些函数共享的。当给出新的数据集d^∗时，我们可以用后验函数作为先验函数，然后执行函数回归。

之所以要举着两个例子，是因为一般来说，GP适用于情况一，即便N很小，这种做法也很有效。而NP背后的思路似乎主要来自元学习——在这种情况下，潜在的z可以被看作是用于不同数据集间信息共享的机制。但是，NP同样具有概率模型的特征，事实上，它同时适用于以上两种情况，具体分析请见下文。

NP模型是怎么实现的？

下面是NP生成模型的详细图解：

如果要逐步分解这个过程，就是：

首先，“context points”里的数据(x_c,y_c)通过神经网络h映射，获得潜在表征r_c
其次，这个向量r_c经聚合（操作：平均）获得单个值r（和每个r_c具有相同的维数）
这个r的作用是使z的分布参数化，例如p(z|x_1:C,y_1:C)=N(μ_z(r),σ²_z(r))
最后，为了预测输入x^∗_t后的函数值，对z采样并将样本与x^∗_t组成数对，用神经网络g映射(z,x^∗_t)获得预测分布中的样本y^∗_t。

NP的推断是在变分推断（VI）框架中进行的。具体来说，我们介绍了两种近似分布：

让q(z|context)去近似条件先验p(z|context)
让q(z|context,target)去近似于各自的p(z|context,target)，其中context:=(x_1:C,y_1:C)，target:=(x^∗_1:T,y^∗_1:T)

下图是近似后验q(z|·)的具体推断过程。也就是说，我们用相同的神经网络h映射两个数据集，获得聚合的r，再把r映射到μ_z和σ_z，使后验q(z|⋅)=N(μ_z,σ_z)被参数化。

变分下界包含两个项（下式），其中第一项是target集上的预期对数似然，即先从z∼q(z|context,target)上采样（上图左侧），然后用这个z在target set上预测（上图右侧）。

第二项是个正则项，它描述了q(z|context,target)和q(z|context)之间的KL散度。这和常规的KL(q||p)有点不同，因为我们的生成模型一开始就把p(z|context)当做条件先验，不是p(z)，而这个条件先验有依赖于神经网络h，这就是我们没法得到确切值，只能用一个近似值q(z|context)。

实验

NP作为先验

我们先来看看把NP作为先验的效果，也就是没有观察任何数据，模型也没有经过训练。初始化权重后，对z∼N(0,I)进行采样，然后通过x^∗值的生成先验预测分布并绘制函数图。

和具有可解释内核超参数的GP相反，NP先验不太明确，它涉及各种架构选择（如多少隐藏层，用什么激活函数等），这些都会影响函数空间的先验分布。

例如，如果我们用的激活函数是sigmoid，调整z的维数为{1, 2, 4, 8}。

如果用的是ReLU：

在一个小数据集上训练NP

假设我们只有5个数据点：

由于NP模型需要context set和target set两个数据集，一种方法是选取固定大小的context set，另一种方法则是用不同大小的context set，然后多迭代几次（1个点、2个点……以此类推）。一旦模型在这些随机子集上完成训练，我们就可以用它作为所有数据的先验和条件，然后根据预测结果绘制图像。下图展示了NP模型训练时的预测分布变化。