怎样用数学找到一颗丢失的氢弹？
“怎样用数学找到一颗丢失的氢弹？”
——贝叶斯定理在搜索失踪物品方面的几个小故事
冷战期间，在西班牙上空曾发生过一次令人难以置信的事故：一场原本是例行公事的飞行活动，最终却造成两架飞机坠毁，七名机组人员死亡，整整一个村庄受到污染，更糟糕的是，一颗氢弹掉到海里，丢了。
一千多名美国和西班牙人员展开了搜索和清理工作，还出动了十几架飞机、近三十艘美国海军的舰艇和五艘潜艇。整个行动花费超过1.2亿美元，造成的外交影响更是难以估量。而且颇具黑色幽默意味的是，18世纪曾有人提出过一个不起眼的数学定理，是关于如何在干草堆中寻找一根真正的针，当时没人认为这个定理有什么实用性，可在这次丢氢弹的事件中，这个定理却提供了无比实用的解决方案。
让我们来看看整个事件的始末：1966年1月17日上午10点左右，驻扎在美国北卡罗来纳州的第31轰炸中队麾下的两架B-52G轰炸机正在西班牙卡塔赫纳西南方的海面上接近两架KC-135空中加油机，准备接受空中加油。这两架轰炸机每架都携带有四颗爆炸当量为150万吨梯恩梯的B-28型氢弹。此次带弹飞行代号“铬圆顶行动”，是美国核威慑任务的一部分，旨在让核武装轰炸机飞到苏联的家门口展示力量。
正在接受KC-135空中加油机加油的B-52轰炸机。
意外就在这个时候发生了：有一架B-52轰炸机在接近加油机时飞得太快了，以至于后者没有收到告警信号，结果这两架飞机在九千多米高的天上相撞。空中加油机的加油杆撕裂了这架B-52轰炸机的左翼，机上的七名机组人员中，有三人在事故中丧生。机翼断裂产生的火星引燃了机上的燃油，把整架加油机炸成了一团耀眼的火球。加油机上所有的四名机组人员当场死亡，一百多吨燃烧的飞机残骸落在了地中海附近一个名叫帕洛马雷斯的西班牙小村庄里。与飞机残骸一同落在地上的，还有那四颗氢弹中的三颗。
不到24小时，美国空军的一支事故处理小组便从马德里附近的托雷洪空军基地赶到了现场。来自洛斯阿拉莫斯国家实验室和桑迪亚武器实验室以及空军后勤部队的专家们纷纷赶往这个不起眼的西班牙小乡村。
搜索小组在一天之内就发现了三颗落在地上的氢弹：一颗落在了较软的土坡上，其外壳相对完整；其余两颗氢弹内的高爆炸药（用于产生爆轰波压缩核物质）在撞击时被引爆，在干燥的土壤中炸出了一个直径30多米的大坑，并把里面的放射性元素钚、铀和氚等洒落得到处都是。
回收的一枚B-28型氢弹。
按照惯例，必须找到下落不明的第四颗氢弹，然而，帕洛马雷斯村所在的阿尔梅里亚省拥有上千年的采矿业，频繁的人类活动打出了无数的矿井，原本干燥平坦的土壤被无数大坑和洼地弄得支离破碎——这些景观甚至因在那里拍摄过美国西部牛仔片而闻名。这使得对第四颗氢弹的搜索变得困难无比。
几个星期内，美军和西班牙警察用辐射探测器对该地区进行了仔细的搜查，但未能找到第四颗氢弹。这时有目击者报告说，他看见有物体挂在降落伞下落入了大海。
早在事故发生8小时后，美国海军便下令让一支舰队驶往西班牙海岸。事故发生5天后，美国空军正式请求海军帮助寻找失踪的氢弹。为了完成这次任务，美国海军甚至在其驻地聘请了一名“神童”。
管用的“神童”
这位“神童”名叫约翰·皮纳·克雷文，第二次世界大战期间，他曾在加州理工学院和衣阿华大学学习工程和水利学。
当他作为一名文职科学家回到海军服役后，他解决了美国海军“鹦鹉螺”号核潜艇的一大结构性问题，还审查了“北极星”潜射弹道导弹项目。
1963年，美国海军遇上了一件大事——“长尾鲨”号核潜艇在潜航期间失踪。海军方面派克雷文去负责深海救援和打捞研究工作。克雷文当时是海军特别项目办公室的负责人，他出色地完成了工作。三年后，他不得不再次上阵，以找到这颗失踪的氢弹，而且要快。
苏联人肯定会竭尽全力地找到这颗氢弹，白宫方面也在施加压力。林登·约翰逊总统不相信某些政客做出的保证，即这颗氢弹永远消失在了大洋里，任何人也找不到。但是，在数百平方千米的海底图像中找到一艘皮划艇大小的物体看上去几乎是不可能完成的任务。
一名美国海军的潜水员正在地中海海底回收飞机残骸，照片来自美联社。
当时，帕洛马雷斯村有位名叫弗朗西斯科·西莫·奥特斯的渔夫，他曾看到有个带着降落伞的物体从天而降，还指出了坠落的地方。不过，美国海军的专家基于他们自己对氢弹下降过程的计算，驳回了这位渔夫的说法。
经过潜水员和声呐为期数周却无果的海底搜索之后，克雷文转向神圣的数学领域寻求帮助。令很多人没有想到的是，一个不起眼的、诞生于250多年前的概率理论居然让人们看到了找到氢弹的希望。
在一本可追溯到18世纪60年代的未发表手稿中，一位英国皇家学会会员兼统计学家托马斯·贝叶斯首先提出了一种理论，这种理论后来还以贝叶斯的名字被命名为“贝叶斯定理”。简单来说，贝叶斯定理在数学上描述了如何“根据不确定性信息做出推理和决策”，即解决条件概率推理问题。
剑桥大学用霓虹灯呈现出的贝叶斯定理公式。
克雷文意识到，贝叶斯定理可以帮助改善搜索团队关于失踪氢弹所在位置的观念。他首先调来了帕洛马雷斯附近海底的详细地图，然后要求他手下的打捞和搜索专家对氢弹坠落期间可能发生的每一件事都计算概率。例如，氢弹有两个降落伞，在坠落过程中，一个伞打开的概率是多少？两个都打开的概率是多少？两个都未打开的概率是多少？氢弹直接落入水中的概率是多少？如果它以某个特定的角度下落会如何？克雷文的团队探索了数百种可能，并计算了每种可能发生的概率。
量化的观念
根据克雷文团队计算出的概率，这颗氢弹有可能会落在远离海岸的许多不同地方。然后，克雷文手下的数学家们根据最初的一轮“猜测”和每个指定位置的概率，计算出了每个指定位置有落弹的可能性。
从本质上讲，数学家根据他们算出的情况，量化了他们对氢弹落点的猜测。最终，他们将对氢弹落点的猜测反映在了一张海底图像上——这张“概率图”显示了最有希望搜索到氢弹丢失的位置，但这些位置与传统搜索技术所认定的位置有极大的差别。数学家们的这张图表明，这颗氢弹的落点远不是在飞机残骸附近。
美国海军派遣科研潜艇“阿尔文”号和“阿鲁米纳特”号检查了相关地点，但它们在搜索一番后无功而返。克雷文团队根据新的搜索信息重新计算了他们的概率。此时，距离氢弹坠落已经过去相当长一段时间了。
白宫方面在收到克雷文的最新报告后，约翰逊要求派一群“真正的专家”解决这个问题。但是，在仔细审查了克雷文的报告之后，麻省理工学院和康奈尔大学的一个专家小组一致认为，克雷文所用的这种“奇怪的方法”是最好的方法。
与此同时，有人开始重新审视渔夫奥特斯的说法。这位渔夫被邀请到了美国海军的“品尼高”号扫雷舰上，并指引着这艘船驶向一片声呐曾收到过可能是氢弹信号的海域。这片海域位于克雷文重新计算的最新海图上的一处高概率地点中。
“阿尔文”号潜艇下潜到了2550英尺（约686米）深的海底，发现了一个覆盖在圆柱形金属物体上的降落伞。这艘潜艇试图抓住这个物体，但失败了，氢弹滑向了更深处。
三周后，一艘早期型号的远程遥控潜水器重新找到了这颗氢弹，但却不小心将自身与这颗氢弹缠在了一起。冒着巨大的风险，遥控人员操纵着潜水器及缠绕其上的氢弹一起返回了海面。
1966年4月8日，美国海军的水兵正在检查从帕洛马雷斯外海回收的氢弹。
在“帕洛马雷斯事件”发生两年后，克雷文团队再次应用贝叶斯定理找到了另一件丢失的物品——美国海军的“天蝎”号核潜艇。这艘潜艇约在1968年5月21日前后沉没在了亚速尔群岛外海，艇上人员全部遇难。再一次地，贝叶斯定理这一“数学魔法”向世人证实了其巨大的威力。不过，与上次找氢弹时的“眼见为实”不同，这次“找潜艇”是以一种“耳听为实”的方式证实的：水下听音器记录到了潜艇被压碎的声音，因为这艘潜艇的下潜深度超过了它所能承受的极限。
沉在海底的“天蝎”号核潜艇的残骸。
有用的“魔法”
在接下来的几十年里，克雷文的这种“数学魔法”一次又一次地证明了自己。例如，2009年，从里约热内卢飞往巴黎的法航447号航班在大西洋中部坠毁，坠毁处所在的海底距离海面有3000米之多。法国调查人员搜查了两年都没有找到残骸。
最终，法国调查人员求助于美国密特隆咨询公司。密特隆公司将克雷文的方法应用于当时的整个搜索工作，并分别就事件、场景和位置计算了概率。密特隆公司的分析师获取了有关飞行动力学、飞机性能、当地风和洋流的数据，并分别对其计算了概率。然后，他们用之前获得的法航447号航班的搜索数据重复了这一步骤，并使用贝叶斯定理来更新他们对坠机发生位置的猜测。不出所料，新的概率将调查人员指引到了之前忽略的位置上。一周之后，搜索小组从水深约4000米的海底回收了飞机的黑匣子。
打捞出水的法航447号航班的残骸。
饶是如此，基于贝叶斯定理的搜索需要至少提供一些“较好”的数据才能应用。以目前已终止寻找的马航370号航班为例，由于缺少数据，因此存在各种可能性——也就是说，几乎任何情况都有可能发生，可我们总不能真的认为是外星人绑架或黑洞吸引导致的吧！
在印度洋这片世界上最知之甚少的海域中，没有目击者，且几乎没有碎片和较确定的搜索区域，在这种情况下，恐怕就连克雷文这样的数学“神童”也无从下手。但是我们相信，五十多年前丢失在帕洛马雷斯外海的那颗氢弹曾被很多人认为是找不到的，但最终凭借数学这一强大的科学工具而被找到了，那么随着概率论等数学科学的发展，人们终有一天也会解开包括马航370号航班在内的诸多“失踪之谜”。
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