高斯模糊的算法

通常，图像处理软件会提供"模糊"（blur）滤镜，使图片产生模糊的效果。

"模糊"的算法有很多种，其中有一种叫做"高斯模糊"（Gaussian Blur）。它将正态分布（又名"高斯分布"）用于图像处理。

本文介绍"高斯模糊"的算法，你会看到这是一个非常简单易懂的算法。本质上，它是一种数据平滑技术（data smoothing），适用于多个场合，图像处理恰好提供了一个直观的应用实例。

 一、高斯模糊的原理 

所谓"模糊"，可以理解成每一个像素都取周边像素的平均值。

上图中，2是中间点，周边点都是1。

"中间点"取"周围点"的平均值，就会变成1。在数值上，这是一种"平滑化"。在图形上，就相当于产生"模糊"效果，"中间点"失去细节。

显然，计算平均值时，取值范围越大，"模糊效果"越强烈。

上面分别是原图、模糊半径3像素、模糊半径10像素的效果。模糊半径越大，图像就越模糊。从数值角度看，就是数值越平滑。

接下来的问题就是，既然每个点都要取周边像素的平均值，那么应该如何分配权重呢？

如果使用简单平均，显然不是很合理，因为图像都是连续的，越靠近的点关系越密切，越远离的点关系越疏远。因此，加权平均更合理，距离越近的点权重越大，距离越远的点权重越小。

 二、正态分布的权重 

正态分布显然是一种可取的权重分配模式。

在图形上，正态分布是一种钟形曲线，越接近中心，取值越大，越远离中心，取值越小。

计算平均值的时候，我们只需要将"中心点"作为原点，其他点按照其在正态曲线上的位置，分配权重，就可以得到一个加权平均值。

 三、高斯函数 

上面的正态分布是一维的，图像都是二维的，所以我们需要二维的正态分布。

正态分布的密度函数叫做"高斯函数"（Gaussian function）。它的一维形式是：

中，μ是x的均值，σ是x的方差。因为计算平均值的时候，中心点就是原点，所以μ等于0。

据一维高斯函数，可以推导得到二维高斯函数：

了这个函数 ，就可以计算每个点的权重了。

 四、权重矩阵 

假定中心点的坐标是（0,0），那么距离它最近的8个点的坐标如下：

更远的点以此类推。

为了计算权重矩阵，需要设定σ的值。假定σ=1.5，则模糊半径为1的权重矩阵如下：

这9个点的权重总和等于0.4787147，如果只计算这9个点的加权平均，还必须让它们的权重之和等于1，因此上面9个值还要分别除以0.4787147，得到最终的权重矩阵。

 五、计算高斯模糊 

有了权重矩阵，就可以计算高斯模糊的值了。

假设现有9个像素点，灰度值（0-255）如下：

每个点乘以自己的权重值：

得到

将这9个值加起来，就是中心点的高斯模糊的值。

对所有点重复这个过程，就得到了高斯模糊后的图像。如果原图是彩色图片，可以对RGB三个通道分别做高斯模糊。

 六、边界点的处理 

如果一个点处于边界，周边没有足够的点，怎么办？

一个变通方法，就是把已有的点拷贝到另一面的对应位置，模拟出完整的矩阵。

参考文献

* How to program a Gaussian Blur without using 3rd party libraries

————

编辑 ∑Pluto

来源：阮一峰的网络日志

更多精彩：

☞泰勒定理的奇闻轶事

☞丘成桐：漫谈微分几何

☞Leibniz 如何想出微积分？（一）

☞线性相关和秩的物理意义

☞数学史上你认为最丑陋的公式是什么？

☞陶哲轩谈什么是好的数学

☞田渊栋：数学的用处（下篇）

☞你绝对没想过原来数学家这么流氓，一言不合就进行暴力证明

☞世界上最牛的五篇博士论文

☞数学中有哪些巧合让人眼前一亮？

☞算法立功！清华毕业教授美国被抢车，警察无能为力自己用“贪心算法”找回

☞学术史上的奇文：怎样用数学抓狮子

☞台大教授的反思：最难的一课 我们却没教给学生

☞麻省理工学院(MIT)研究生学习指导—— 怎样做研究生

☞分享 数学，常识和运气 ——投资大师詹姆斯·西蒙斯2010年在MIT的讲座

算法数学之美微信公众号欢迎赐稿

稿件涉及数学、物理、算法、计算机、编程等相关领域，经采用我们将奉上稿酬。

投稿邮箱：math_alg@163.com