机器学习（15）之支持向量机原理(一)线性支持向量机

2017 年 9 月 11 日 七月在线实验室

前言

支持向量机(Support Vecor Machine,以下简称SVM)虽然诞生只有短短的二十多年，但是自一诞生便由于它良好的分类性能席卷了机器学习领域，并牢牢压制了神经网络领域好多年。如果不考虑集成学习的算法，不考虑特定的训练数据集，在分类算法中的表现SVM说是排第一估计是没有什么异议的。

SVM是一个二元分类算法，线性分类和非线性分类都支持。经过演进，现在也可以支持多元分类，同时经过扩展，也能应用于回归问题。本篇的重点是SVM用于线性分类时模型和损失函数优化的一个总结。

回顾感知机模型

在（机器学习(7)之感知机python实现）中，讲到了感知机的分类原理，感知机的模型就是尝试找到一条直线，能够把二元数据隔离开。放到三维空间或者更高维的空间，感知机的模型就是尝试找到一个超平面，能够把所有的二元类别隔离开。对于这个分离的超平面，我们定义为 wTx+b=0，如下图。在超平面 wTx+b=0 上方的我们定义为y=1,在超平面 wTx+b=0下方的我们定义为y=−1。可以看出满足这个条件的超平面并不止一个。那么我们可能会尝试思考，这么多的可以分类的超平面，哪个是最好的呢？或者说哪个是泛化能力最强的呢?

感知机模型的损失函数优化，它的思想是让所有误分类的点(定义为M)到超平面的距离和最小，即最小化下式：

当和w和b成比例的增加，比如,当分子的和w和b扩大N倍时，分母的L2范数也会扩大N倍。也就是说，分子和分母有固定的倍数关系。那么我们可以固定分子或者分母为1，然后求另一个即分子自己或者分母的倒数的最小化作为损失函数，这样可以简化我们的损失函数。在感知机模型中，我们采用的是保留分子，固定分母||w||2=1,即最终感知机模型的损失函数为：

如果我们不是固定分母，改为固定分子，作为分类模型有没有改进呢？

函数间隔与几何间隔

在正式介绍SVM的模型和损失函数之前，还需要先了解下函数间隔和几何间隔的知识。

在分离超平面固定为wTx+b=0的时候，|wTx+b|表示点x到超平面的距离。通过观察wTx+b和y是否同号，我们判断分类是否正确，这些知识我们在感知机模型里都有讲到。这里我们引入函数间隔的概念，定义函数间隔γ′为：

它就是感知机模型里面的误分类点到超平面距离的分子。对于训练集中m个样本点对应的m个函数间隔的最小值，就是整个训练集的函数间隔。

函数间隔并不能正常反应点到超平面的距离，在感知机模型里我们也提到，当分子成比例的增长时，分母也是成倍增长。为了统一度量，我们需要对法向量w加上约束条件，这样我们就得到了几何间隔γ,定义为：

支持向量

在感知机模型中，我们可以找到多个可以分类的超平面将数据分开，并且优化时希望所有的点都离超平面远。但是实际上离超平面很远的点已经被正确分类，我们让它离超平面更远并没有意义。反而我们最关心是那些离超平面很近的点，这些点很容易被误分类。如果我们可以让离超平面比较近的点尽可能的远离超平面，那么我们的分类效果会好有一些。SVM的思想起源正起于此。

如下图所示，分离超平面为wTx+b=0，如果所有的样本不光可以被超平面分开，还和超平面保持一定的函数距离，那么这样的分类超平面是比感知机的分类超平面优的。可以证明，这样的超平面只有一个。和超平面平行的保持一定的函数距离的这两个超平面对应的向量，我们定义为支持向量，如下图虚线所示。

SVM模型目标函数与优化

SVM的模型是让所有点到超平面的距离大于一定的距离，也就是所有的分类点要在各自类别的支持向量两边。用数学式子表示为：

一般我们都取函数间隔γ′为1，这样我们的优化函数定义为：

也就是说，我们要在约束条件yi(wTxi+b)≥1(i=1,2,...m)下，最大化1)||w||2。可以看出，这个感知机的优化方式不同，感知机是固定分母优化分子，而SVM是固定分子优化分母，同时加上了支持向量的限制。由于1||w||2的最大化等同于12||w||22的最小化。这样SVM的优化函数等价于：