定量描述估计误差，让你离最优投资组合更近一步

经典优化模型会放大输入变量的估计误差

估计误差是建模中客观存在的问题。 研究者会根据估计误差出现的场景选用不同的方式去修正误差。 下面我们以均值方差模型为例，来看看量化研究员在日常研究中是如何修正估计误差的； 更重要的，如何通过修正误差更进一步地优化我们的投资组合。

均值方差模型是用来优化投资组合的经典方法之一，它的输入变量是各个资产的预期收益率和预期协方差。 实践中，预期收益率/协方差的真实值我们无法得知，只能基于大数定律用模型估算出预期收益率/协方差的近似值。 将它们输入均值方差模型，我们能构造出一条有效前沿曲线。

然而，估计值和真实值之间或多或少会存在估计误差。 利用一个带有误差的变量作为优化模型的输入变量，计算出来的结果与真实结果一定会有偏离。

我们用一个实例来具体的描述一下这种偏离。

一个案例说明优化模型面临的问题

随机挑选15只股票，计算出每个股票的真实预期收益率、预期收益率估计值和协方差矩阵（在实际中，真实的预期收益率是不可得的，在此处，为了描述真实结果与预测结果的偏离，我们选取已知收益率的股票做一次回测）：

表1： 15只股票相关值计算

source：萝卜投资

利用上表数据，我们构造有效前沿曲线（efficient frontier），并画出其上半部分:

图1： 有效前沿曲线图

source：萝卜投资

1) 将真实的预期收益率和预期协方差作为模型输入，得到不同风险收益水平下的组合，形成一条真实的有效前沿（true frontier）（蓝色线）;

蓝色线是最优组合线，即目标线，我们希望预测的有效前沿能够更多的逼近蓝色线。

2) 将预期收益率的估计值和预期协方差作为模型输入，形成一条估计的有效前沿（estimated frontier）（绿色线）；

绿色线是估计有效前沿，它在蓝线（真实有效前沿）上方，表明根据输入变量的估计值计算出来的投资组合收益率被高估了。

3) 将真实的预期收益率和2）中求出的组合权重结合起来算出组合的实际收益率，画出一条实际的有效前沿（actual frontier）（橙色线）。

橙色线总是位于蓝线下方，因为对于真实的预期收益率而言，最优的组合是蓝线。

由于估计误差的存在，它和真实有效前沿还有一定的距离，我们希望这个距离越小越好。 但在实际情况中，我们并不知道真实的预期收益率，因此不能计算出真实有效前沿和实际有效前沿的距离。 我们甚至无法知道实际有效前沿的位置。

那我们可以做什么呢？

萝卜投资对优化模型的改进

估计手段的改进可能是一个方向，比如像BL模型那样加入人为的先验观点，通过贝叶斯的方式去校准估计等。 这些方法虽然有效，但仍然无法消除误差。

既然无法消除误差，那就将误差一并作为输入变量放进模型。 萝卜投资在搭建最优化投资组合模型时，对估计误差进行定量描述，然后将其放入均值方差模型，让优化器自行做出选择。

回到我们上述所举的例子，在引入估计误差后，我们重新勾勒有效前沿曲线图：

图2： 稳健的有效前沿图

source:萝卜投资

4） 对2）中模型，引入估计误差，得到稳健的估计有效前沿（robust_estimated_frontier）（红色线），它更接近蓝色目标线；

5） 对3）中模型，引入估计误差，得到稳健的实际有效前沿（robust_actual_frontier）（紫色线），它也更接近蓝色目标线了。

对比原模型结果，在模型中引入估计误差后，得到的投资组合更加接近真实的最优投资组合，能够降低估计误差带来的负面影响。

借助一些算法优化手段，萝卜投资能够减小估计误差给模型带来的负面影响，从而得到更加接近真实有效前沿曲线的组合，让您离最优投资组合更近一步。

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