不用公式就能看懂的数学和物理，这里有你没见过的操作（下）

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不用公式就能看懂的数学和物理，这里有你没见过的操作（下）

2018 年 9 月 23 日 中科院物理所

每每提到数学物理，面对大量的计算和复杂的公式，人们的脑子里往往是一团乱麻。在上一期的文章中，我们一起见识了图的力量。很多小伙伴惊呼「被这波操作秀翻了！」。

在我们平时遇到的问题当中，我们有时候也很需要借助图片的力量来更好地解决问题。所谓能用图说明的问题，就不要用公式和数据。今天我们就继续来看看在数学和物理中还有哪些好玩有趣的图？

披萨问题

Cheese Pizza Theorem

作为一个标准的吃货，看到居然有用吃的东西来命名的问题，自然会问：这东西能吃吗？怎么吃？好吃么？披萨问题确实是一个关于怎么吃的问题。两个人买了一张披萨，现在想要均匀地分配。分披萨饼时常见的做法是过圆心切若干刀，将披萨尽可能均匀地分成若干份。然而很多时候并不能保证选取的圆心就是真正的圆心。

但是，如果选取的圆心是错误的，那么即使「均匀地」切开披萨（每切一刀转过的角度都是相同的），每块披萨的大小也都不一样。这时候如果两个人按照顺时针（或逆时针）顺序轮流拿披萨吃，那么两个人吃掉的披萨是否还一样多呢？

怎么均匀地分掉这个披萨，真的是个问题

这个问题1967年的时候发表在《数学杂志》上，很快就有人针对切偶数刀的情形进行了计算，发现在这种情况下，两个人分到的披萨面积是相同的。下面我们来单独看一下关于切4刀时的巧妙证明。作者通过割补法就完成了对这个问题的巧妙证明。如图中编号所示，相同编号的两个图形是全等的。

如图中编号所示，相同编号的两个图形是全等的。感兴趣的读者可以试着用剪刀和纸在现实中实现

针对这个问题有很多解法，也有各种各样形式的推广，对于奇数刀时的情形已经十分复杂[1]，更有人开始思考怎么均匀地切西瓜（也就是三维披萨）[1]。

切完披萨，数学家们开始切各种奇奇怪怪的东西了……

力

Force

要说力学里面，最形象最生动的图，应该就是受力分析图了。无论是初中高中就接触的斜面上永远滑不完的小滑块，再到机械上的复杂的铰链和杆上的受力。只要你还在和物理打交道，很难避免受力分析这件事情。

一个对现实生活中的路灯的梁进行受力分析的例子，忽略了它的重力因素，图片来自 [3]

在英文中，受力分析图往往被称为 Free body diagram，直译过来就是自由体图，或者被称为隔离体图。这个名词有时候会让第一次接触英文力学教材的人有点迷茫。但是仔细一想，我们的受力分析不就是把系统中每个部分隔离出来单独分析的么？在看到这个物体上的所有受力之后，我们就能计算合外力和合外力矩，进而通过牛顿第二定律得到他们运动的信息。

摩擦角示意图，物体所受摩擦力和支持力的合外力与法线方向的夹角不是任意的，受到摩擦系数的限制

其实说到力学，里面还有一个非常形象的概念——摩擦角。不知道大家有没有思考过沙堆为啥是圆锥形的而不是其他形状的？[2] 这里面其实就隐藏着摩擦角。

流动的沙子，只考虑摩擦因素，只有沙堆斜面倾角较小的时候，表面的沙子才能够平衡。

我们不妨假设物体只受到三个力的作用，支持力，摩擦力，其他所有力的合外力。合外力如果和地面近乎垂直的时候，可以想象，你相当于把这个物体压在地上，它当然动不了。但是如果把合外力方向慢慢往转向和地面平行的方向，这时候更多地就像在推着物体了，物体当然不再保持平衡。斜面上的沙子同样也是这个道理，你只要转一下脖子。

* 在受力分析的时候我们往往需要用到牛顿留下来的三大定律，小编怀着好奇和仰慕的心情翻阅了一下经典的《自然哲学的数学原理》，然而并没有在其中找到受力分析图……

费曼图

Feymann Diagram

费曼图的中代表两个粒子散射的一阶近似的费曼图，与具体数学形式之间的对应关系，图片来自 Giphy@Fermilab

既然说到了「力」，在现代量子场论的视角看来，物体之间的相互作用力，都是通过不断地交换虚粒子来实现的。虽然看上去很形象直观，然而具体计算的过程十分复杂，因此费恩曼发展了一套形象化的方法来解决。在费曼图中，横轴和纵轴一般分别代表时间和空间两个维度，粒子用线表示，不同的类型的粒子用不同的线进行区分，费米子一般用实线，光子用波浪线，玻色子用虚线，胶子用圈线。一线与另一线的连接点称为顶点。

生活大爆炸中的场景，一个e-μ-散射过程。剧中台词并不准确，实际上我们要算的是一个复杂的积分式子

费恩曼图中的时间轴，向右为正，左边代表初态，右边代表末态。与时间轴方向相同的箭头代表正费米子，与时间轴方向相反的箭头表示反费米子。在《生活大爆炸》中有一个镜头，谢尔顿他们在进行答题比赛，在图中给出了e-μ-散射的费曼图。当然在现实中，除了画出来的这种的电子和μ子散射的方式以外，中间还会有很多复杂的相互作用。

对轻子 g−2 的第10阶微扰修正中 32 个规范不变子集的代表性费曼图

费曼图并不能帮我们直接就看出这里面的结果，在这个图的背后之后依旧需要十分复杂的计算。

虽然费曼图简化了人们在量子场论中的计算，但是并不是每个人都对这个很感冒，比如盖尔曼。盖尔曼因为对基本粒子的分类和其相互作用的发现从而获得1969年的诺贝尔物理学奖，他就一直把费曼图称为斯蒂克尔堡图(Stückelberg diagrams)。这俩人还经常攀比谁是加州理工学院最聪明的人。[4]

墨西哥帽

Sombrero

关于对称性自发破缺，大家可能或多或少都听说过一些。其实在现实生活中，就有一个很生动形象的例子——墨西哥帽。我们假设在帽子的顶部有一颗小球。从图形的对称性我们可以看到，现在的小球位置是旋转对称的，绕着帽子的对称轴旋转，小球并不发生变化。但是，在这个位置上，小球也恰好处于局部势能的极大值，一旦受到扰动，小球就会滑落到帽子的谷底位置，从而不再具有旋转对称性（虽然小球所有可能的位置具有对称性）。

对于这个墨西哥帽问题，在帽子的谷底，存在着无穷多个最低能量的位置。如果我们绕着帽子的对称轴进行旋转，除非我们转过整数圈，否则体系不能变回原来的样子，所以我们说体系的对称性降低了，发生了“自发对称性破缺”。