We describe a polynomial-time algorithm which, given a graph $G$ with treewidth $t$, approximates the pathwidth of $G$ to within a ratio of $O(t\sqrt{\log t})$. This is the first algorithm to achieve an $f(t)$-approximation for some function $f$. Our approach builds on the following key insight: every graph with large pathwidth has large treewidth or contains a subdivision of a large complete binary tree. Specifically, we show that every graph with pathwidth at least $th+2$ has treewidth at least $t$ or contains a subdivision of a complete binary tree of height $h+1$. The bound $th+2$ is best possible up to a multiplicative constant. This result was motivated by, and implies (with $c=2$), the following conjecture of Kawarabayashi and Rossman (SODA'18): there exists a universal constant $c$ such that every graph with pathwidth $\Omega(k^c)$ has treewidth at least $k$ or contains a subdivision of a complete binary tree of height $k$. Our main technical algorithm takes a graph $G$ and some (not necessarily optimal) tree decomposition of $G$ of width $t'$ in the input, and it computes in polynomial time an integer $h$, a certificate that $G$ has pathwidth at least $h$, and a path decomposition of $G$ of width at most $(t'+1)h+1$. The certificate is closely related to (and implies) the existence of a subdivision of a complete binary tree of height $h$. The approximation algorithm for pathwidth is then obtained by combining this algorithm with the approximation algorithm of Feige, Hajiaghayi, and Lee (STOC'05) for treewidth.
翻译:我们描述一个多式时间算法, 给一个以树枝为单位的图形$G$, 以树枝为单位的图形$G$, 其路径为$G$, 与美元( t\ sqrt_rlog t}) 美元( 美元) 之比接近。 这是第一个实现美元( t) 美元( 美元) 代表某种函数( f f) 。 我们的方法基于以下关键洞察力: 拥有大路径的每张图图都有大树宽, 或者包含一个大型完整双向的双向树树树树树树形的亚特价。 每张路径为美元( Kawabayashi和罗斯曼( SODAD'18) 的直径图中, 每张路径为美元( 美元) 直径( 美元) 直径( 直径) 直径( 美元) 直径( 直径) 直径( 直径) 和直径( 直径( 美元) 直径( 直径) 直径( 直径) 直径( 美元) 直径) 直径( 直径) 直径) 直径( 直) 直方( 直) 直) 直) 直( 直) 直( 直) 直) 直, 直) 直) 直( 直( 直方( 直 直) 直), 直) 直 直 直 直 直 直) 直,, 根根根根根根根根根根根根根 直 直 直 直 直) 直) 直 直 直 直 直 直 ( 直 直 直 直) 直 直) 直 直 根 根 直 直 根 根 根 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 根 直 直 根 根 根 根 根 直 直 根 根 直 根 根 根 根 直 直 根 根 根 根