A mobile agent navigating along edges of a simple connected graph, either finite or countably infinite, has to find an inert target (treasure) hidden in one of the nodes. This task is known as treasure hunt. The agent has no a priori knowledge of the graph, of the location of the treasure or of the initial distance to it. The cost of a treasure hunt algorithm is the worst-case number of edge traversals performed by the agent until finding the treasure. Awerbuch, Betke, Rivest and Singh [ABRS 1999] considered graph exploration and treasure hunt for finite graphs in a restricted model where the agent has a fuel tank that can be replenished only at the starting node $s$. The size of the tank is $B=2(1+\alpha)r$, for some positive real constant $\alpha$, where $r$, called the radius of the graph, is the maximum distance from $s$ to any other node. The tank of size $B$ allows the agent to make at most $\lfloor B\rfloor$ edge traversals between two consecutive visits at node $s$. Let $e(d)$ be the number of edges whose at least one extremity is at distance less than $d$ from $s$. Awerbuch, Betke, Rivest and Singh [ABRS 1999] conjectured that it is impossible to find a treasure hidden in a node at distance at most $d$ at cost nearly linear in $e(d)$. We first design a deterministic treasure hunt algorithm working in the model without any restrictions on the moves of the agent at cost $\mathcal{O}(e(d) \log d)$, and then show how to modify this algorithm to work in the model from [ABRS 1999] with the same complexity. Thus we refute the above twenty-year-old conjecture. We observe that no treasure hunt algorithm can beat cost $\Theta(e(d))$ for all graphs and thus our algorithms are also almost optimal.
翻译:移动代理商沿简单连接图的边缘航行, 要么是有限的, 要么是可计算到的无限, 必须在一个节点中找到一个隐藏在某个节点中的不高级目标( 宝藏) 。 此任务被称为“ 寻宝 ” 。 该代理商对图形、 宝藏位置或初始距离没有先验的知识。 宝藏搜索算法的成本是代理商在找到宝藏之前完成的最差的边缘路程数。 Awerbuch、 Betke、 Rivest 和 Singh [AB 1999] 考虑在一个限制模型中找到一个不固定的图解( 宝藏) 。 代理商拥有一个只能在起始节点 $ 上补足的燃料箱。 储箱的规模是 $B=2 ( {alpha) r, 对于一些正数的模型值 dalpha, 美元称为“ 美元”, 是从美元到任何其他节点的最大距离。 美元 。 以 美元 美元 和 以 美元 美元 边际 度 度 以 美元 以 美元 最连续 度 的 度 的 度 的 度 的 度 的 以 以 美元 美元 以 美元 美元 的 的 以 的 以 的 美元 的 的 美元 的 美元 美元 的 的 的 的 美元 的 以 的 的 的 的 以 的 以 的 美元 的 的 以 的 的 的 的 的 的 的 以 的 的 的 的 以 的 的 的 的 以 以 的 以 的 的 的 以 的 的 以 的 的 的 以 的 的 的 的 以 的 以 以 的 的 以 的 的 的 以 的 的 以 的 的 的 的 以 的 的 的 的 以 的 的 的 的 的 的 的 以 以 以 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的