We introduce and study two natural generalizations of the Connected VertexCover (VC) problem: the $p$-Edge-Connected and $p$-Vertex-Connected VC problem (where $p \geq 2$ is a fixed integer). Like Connected VC, both new VC problems are FPT, but do not admit a polynomial kernel unless $NP \subseteq coNP/poly$, which is highly unlikely. We prove however that both problems admit time efficient polynomial sized approximate kernelization schemes. We obtain an $O(2^{O(pk)}n^{O(1)})$-time algorithm for the $p$-Edge-Connected VC and an $O(2^{O(k^2)}n^{O(1)})$-time algorithm for the $p$-Vertex-Connected VC. Finally, we describe a $2(p+1)$-approximation algorithm for the $p$-Edge-Connected VC. The proofs for the new VC problems require more sophisticated arguments than for Connected VC. In particular, for the approximation algorithm we use Gomory-Hu trees and for the approximate kernels a result on small-size spanning $p$-vertex/edge-connected subgraph of a $p$-vertex/edge-connected graph obtained independently by Nishizeki and Poljak (1994) and Nagamochi and Ibaraki (1992).
翻译:我们引入并研究连接的 VertexCover (VC) 问题的两个自然概括: 美元- Edge- 连接的和美元- Vertex- 连接的 VC 问题( 美元\ geq 2 美元是一个固定整数 ) 。 像连接的 VC 一样, 两个新的 VC 问题都是 FPT, 但不接受一个多货币内核, 除非美元\ subseteq coNP/poly极不可能。 然而, 我们证明, 两种问题都承认了 美元- Edge- 连接的和 美元- Vertexex- 连接的 问题( 美元- 美元 美元) 。 我们用一个美元( 美元- 美元) 美元- 美元( 美元) 和 美元- 美元( 美元) 美元( 美元- Vertex- 连接的 VC ) 。 最后, 我们用一个( p+1) 美元- 美元( 美元) 美元- 美元( 美元) 美元( 美元) 美元( 美元) 美元) 美元( 美元- 美元- 美元) 美元( 美元) 美元) ( Ncrow- c( 美元) 美元) ( 美元) ( 美元) 和( 美元) ( 美元) ( 美元) ( 美元) 美元) (美元) ( 美元) (美元) ( 美元) ( ) ( 美元) (美元) (美元) (美元) ( ) (美元) (美元) (美元) (美元) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (美元) (美元) (美元) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) ( ) ( ) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (