Analogy-making is at the core of human and artificial intelligence and creativity. This paper introduces from first principles an abstract algebraic framework of analogical proportions of the form `$a$ is to $b$ what $c$ is to $d$' in the general setting of universal algebra. This enables us to compare mathematical objects possibly across different domains in a uniform way which is crucial for AI-systems. The main idea is to define solutions to analogical equations in terms of maximal sets of algebraic justifications, which amounts to deriving abstract terms of concrete elements from a `known' source domain which can then be instantiated in an `unknown' target domain to obtain analogous elements. It turns out that our notion of analogical proportions has appealing mathematical properties. We compare our framework with two recently introduced frameworks of analogical proportions from the literature in the concrete domains of sets and numbers, and we show that in each case we either disagree with the notion from the literature justified by some counter-example or we can show that our model yields strictly more solutions. As we construct our model from first principles using only elementary concepts of universal algebra, and since our model questions some basic properties of analogical proportions presupposed in the literature, to convince the reader of the plausibility of our model we show that it can be naturally embedded into first-order logic via model-theoretic types, and prove that analogical proportions are compatible with structure-preserving mappings from that perspective. This provides strong evidence for its applicability. In a broader sense, this paper is a first step towards a theory of analogical reasoning and learning systems with potential applications to fundamental AI-problems like commonsense reasoning and computational learning and creativity.
翻译:分析分析是人类和人工智慧和创造力的核心。 本文从最初的原则中引入了一个抽象的代数框架, 模拟比例的“ 美元” 形式“ 美元” 是一个抽象的代数框架, 在通用代数的总体设置中, 模拟比例为 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 。 这使得我们能够以统一的方式对不同领域的数学对象进行比较, 这对AI系统来说至关重要。 主要的想法是确定模拟方程的公式的解决方案, 也就是从一个“ 已知” 源域“ 已知的源域” 中, 从一个“ 已知的” 源域中, 从一个抽象的“ 已知” 源域中, 从一个抽象的代数中, 从一个抽象的代数中得出一个抽象的代数 。 我们用原始的代数概念来构建我们的模型, 从基本的代数的代数的代数的代数, 从基础的代数的代数的代数的代数的代数的代数的代数的代数, 从基础的代数的代数的代数到我们学习的代数的代数的代数的代数的代数的代数的代数的代数的代数, 从基础的代数的代数的代数的代数, 从基础的代数的代数的代数的代数的代数的代数, 从基础的代数的代数的代数的代数的代数的代数的代数的代数, 从基础的代数的代数的代数的代数的代数的代数, 从基础的代数的代数的代数的代数的代数的代数的代数的代数, 从基础的代数的代数的代数的代数的代数的代数的代数的代数的代数的代数的代数, 从基础的代数的代数的代数的代数的代数的代数的代数的代数的代数的代数的代数的代数的代数的代数的代数的代数的代数的代数的