In this paper, we investigate the problem of synthesizing computable functions of infinite words over an infinite alphabet (data $\omega$-words). The notion of computability is defined through Turing machines with infinite inputs which can produce the corresponding infinite outputs in the limit. We use non-deterministic transducers equipped with registers, an extension of register automata with outputs, to describe specifications. Being non-deterministic, such transducers may not define functions but more generally relations of data $\omega$-words. In order to increase the expressive power of these machines, we even allow guessing of arbitrary data values when updating their registers. For functions over data $\omega$-words, we identify a sufficient condition (the possibility of determining the next letter to be outputted, which we call next letter problem) under which computability (resp. uniform computability) and continuity (resp. uniform continuity) coincide. We focus on two kinds of data domains: first, the general setting of oligomorphic data, which encompasses any data domain with equality, as well as the setting of rational numbers with linear order; and second, the set of natural numbers equipped with linear order. For both settings, we prove that functionality, i.e. determining whether the relation recognized by the transducer is actually a function, is decidable. We also show that the so-called next letter problem is decidable, yielding equivalence between (uniform) continuity and (uniform) computability. Last, we provide characterizations of (uniform) continuity, which allow us to prove that these notions, and thus also (uniform) computability, are decidable. We even show that all these decision problems are PSpace-complete for (N,<) and for a large class of oligomorphic data domains, including for instance (Q,<).


翻译:在本文中, 我们调查了在无限字母( 数据 $\ omega$- 字词) 上合成无限计算字数的无限计算函数的问题。 computive 概念是通过图灵机定义的, 其输入量无限, 可以产生相应的无限输出值。 我们使用配备注册器的非确定性传输器, 将注册自动数据与输出相扩展, 来描述规格。 作为非确定性, 这样的传输器可能无法定义功能, 而是数据 $\ omga$- 字的可比较性。 为了提高这些机器的表达力, 我们甚至可以猜测任意数据值的稳定性。 对于数据 $\ omga$ 字词, 我们确定一个充分的条件( 确定下一个字母的可输出值的可能性, 我们称之为下一个字母问题 ) 的兼容性( 统一性) 和 连续性( 统一性) 。 我们集中关注两种数据域( 直线性 ) ( 第一, 普通数据 的设置, 包含任何数据域的直径直径, 以及直线性, 显示直径直径的功能 。

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