The \emph{generalized sorting problem} is a restricted version of standard comparison sorting where we wish to sort $n$ elements but only a subset of pairs are allowed to be compared. Formally, there is some known graph $G = (V, E)$ on the $n$ elements $v_1, \dots, v_n$, and the goal is to determine the true order of the elements using as few comparisons as possible, where all comparisons $(v_i, v_j)$ must be edges in $E$. We are promised that if the true ordering is $x_1 < x_2 < \cdots < x_n$ for $\{x_i\}$ an unknown permutation of the vertices $\{v_i\}$, then $(x_i, x_{i+1}) \in E$ for all $i$: this Hamiltonian path ensures that sorting is actually possible. In this work, we improve the bounds for generalized sorting on both random graphs and worst-case graphs. For Erd\H{o}s-Renyi random graphs $G(n, p)$ (with the promised Hamiltonian path added to ensure sorting is possible), we provide an algorithm for generalized sorting with an expected $O(n \log (np))$ comparisons, which we prove to be optimal for query complexity. This strongly improves over the best known algorithm of Huang, Kannan, and Khanna (FOCS 2011), which uses $\tilde{O}(\min(n \sqrt{np}, n/p^2))$ comparisons. For arbitrary graphs $G$ with $n$ vertices and $m$ edges (again with the promised Hamiltonian path), we provide an algorithm for generalized sorting with $\tilde{O}(\sqrt{mn})$ comparisons. This improves over the best known algorithm of Huang et al., which uses $\min(m, \tilde{O}(n^{3/2}))$ comparisons.


翻译:{emph{dots,v_1,\dots,v_n$} 目标是用尽可能少的比较来确定元素的真实顺序, 所有比较的 n_i, v_j) 都必须以美元进行。 我们承诺, 如果真正的订单是 $_1 < x_2 <\\\\\\\\\\\\\\\\\美元, 美元=美元=美元=( V, E), 美元=美元=美元=1, 美元=美元=%n=美元=%n, 目标是用尽可能少的比较来确定元素的真实顺序, 所有的比较( n_i, v_i, v_j) 都必须以美元计算。 我们承诺, 如果真正的订单是 美元=1 < x_美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=( cdots), 美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元, 美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元, 美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元, 美元=美元, 美元=美元=美元=美元=美元, 美元=美元=美元=美元=美元=美元, 美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元, 美元=美元=美元=美元=美元=美元, 美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元

0
下载
关闭预览

相关内容

专知会员服务
44+阅读 · 2020年10月31日
【DeepMind】强化学习教程,83页ppt
专知会员服务
151+阅读 · 2020年8月7日
迁移学习简明教程,11页ppt
专知会员服务
107+阅读 · 2020年8月4日
因果图,Causal Graphs,52页ppt
专知会员服务
246+阅读 · 2020年4月19日
Stabilizing Transformers for Reinforcement Learning
专知会员服务
58+阅读 · 2019年10月17日
强化学习最新教程,17页pdf
专知会员服务
174+阅读 · 2019年10月11日
Hierarchically Structured Meta-learning
CreateAMind
26+阅读 · 2019年5月22日
meta learning 17年:MAML SNAIL
CreateAMind
11+阅读 · 2019年1月2日
保序最优传输:Order-preserving Optimal Transport
我爱读PAMI
6+阅读 · 2018年9月16日
计算机视觉近一年进展综述
机器学习研究会
9+阅读 · 2017年11月25日
推荐|Andrew Ng计算机视觉教程总结
全球人工智能
3+阅读 · 2017年11月23日
【论文】变分推断(Variational inference)的总结
机器学习研究会
39+阅读 · 2017年11月16日
【推荐】GAN架构入门综述(资源汇总)
机器学习研究会
10+阅读 · 2017年9月3日
【推荐】SVM实例教程
机器学习研究会
17+阅读 · 2017年8月26日
【学习】Hierarchical Softmax
机器学习研究会
4+阅读 · 2017年8月6日
Auto-Encoding GAN
CreateAMind
7+阅读 · 2017年8月4日
Arxiv
0+阅读 · 2022年1月18日
Arxiv
0+阅读 · 2022年1月16日
Arxiv
0+阅读 · 2021年11月23日
Arxiv
3+阅读 · 2017年12月1日
VIP会员
相关VIP内容
专知会员服务
44+阅读 · 2020年10月31日
【DeepMind】强化学习教程,83页ppt
专知会员服务
151+阅读 · 2020年8月7日
迁移学习简明教程,11页ppt
专知会员服务
107+阅读 · 2020年8月4日
因果图,Causal Graphs,52页ppt
专知会员服务
246+阅读 · 2020年4月19日
Stabilizing Transformers for Reinforcement Learning
专知会员服务
58+阅读 · 2019年10月17日
强化学习最新教程,17页pdf
专知会员服务
174+阅读 · 2019年10月11日
相关资讯
Hierarchically Structured Meta-learning
CreateAMind
26+阅读 · 2019年5月22日
meta learning 17年:MAML SNAIL
CreateAMind
11+阅读 · 2019年1月2日
保序最优传输:Order-preserving Optimal Transport
我爱读PAMI
6+阅读 · 2018年9月16日
计算机视觉近一年进展综述
机器学习研究会
9+阅读 · 2017年11月25日
推荐|Andrew Ng计算机视觉教程总结
全球人工智能
3+阅读 · 2017年11月23日
【论文】变分推断(Variational inference)的总结
机器学习研究会
39+阅读 · 2017年11月16日
【推荐】GAN架构入门综述(资源汇总)
机器学习研究会
10+阅读 · 2017年9月3日
【推荐】SVM实例教程
机器学习研究会
17+阅读 · 2017年8月26日
【学习】Hierarchical Softmax
机器学习研究会
4+阅读 · 2017年8月6日
Auto-Encoding GAN
CreateAMind
7+阅读 · 2017年8月4日
Top
微信扫码咨询专知VIP会员