We study the problem of detecting latent geometric structure in random graphs. To this end, we consider the soft high-dimensional random geometric graph $\mathcal{G}(n,p,d,q)$, where each of the $n$ vertices corresponds to an independent random point distributed uniformly on the sphere $\mathbb{S}^{d-1}$, and the probability that two vertices are connected by an edge is a decreasing function of the Euclidean distance between the points. The probability of connection is parametrized by $q \in [0,1]$, with smaller $q$ corresponding to weaker dependence on the geometry; this can also be interpreted as the level of noise in the geometric graph. In particular, the model smoothly interpolates between the spherical hard random geometric graph $\mathcal{G}(n,p,d)$ (corresponding to $q = 1$) and the Erd\H{o}s-R\'enyi model $\mathcal{G}(n,p)$ (corresponding to $q = 0$). We focus on the dense regime (i.e., $p$ is a constant). We show that if $nq \to 0$ or $d \gg n^{3} q^{2}$, then geometry is lost: $\mathcal{G}(n,p,d,q)$ is asymptotically indistinguishable from $\mathcal{G}(n,p)$. On the other hand, if $d \ll n^{3} q^{6}$, then the signed triangle statistic provides an asymptotically powerful test for detecting geometry. These results generalize those of Bubeck, Ding, Eldan, and R\'acz (2016) for $\mathcal{G}(n,p,d)$, and give quantitative bounds on how the noise level affects the dimension threshold for losing geometry. We also prove analogous results under a related but different distributional assumption, and we further explore generalizations of signed triangles in order to understand the intermediate regime left open by our results.


翻译:我们研究在随机图形中探测潜伏几何结构的问题。 至此, 我们考虑软高维随机几何图形 $\ mathcal{G} (n, p, d, q) 美元, 每张美元脊椎都对应一个独立随机点, 球体上平均分布于 $mathbb{S\d- gg} 美元, 两张脊椎被边缘连接的概率是 点之间 Euclide 距离的越来越小功能。 连接的概率是 美元 [0, 1美元, 美元, 与对几何测量的依赖度相对较弱。 特别是, 模型顺利地将球性硬度平面图形 $qqqcal{(n, p, d) 美元(corsp) (corsp) 向 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 数据, 数据, O, 数据, 数据, 数据, 数据, 数据, 数据, 数据, 数据, 数据, 。

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