The Immersed Boundary (IB) method of Peskin (J. Comput. Phys., 1977) is useful for problems involving fluid-structure interactions or complex geometries. By making use of a regular grid that is independent of the geometry, the IB framework yields a robust numerical scheme that can efficiently handle immersed deformable structures. The IB method has also been adapted to problems with prescribed motion and other PDEs with given boundary data. IB methods for these problems traditionally involve penalty forces that only approximately satisfy boundary conditions, or they are formulated as constraint problems. In the latter approach, one must find the unknown forces by solving an equation that corresponds to a poorly conditioned first-kind integral equation. This operation can therefore require a large number of iterations of a Krylov method, and since a time-dependent problem requires this solve at each time step, this method can be prohibitively inefficient without preconditioning. This dissertation introduces a new, well-conditioned IB formulation for boundary value problems, called the Immersed Boundary Double Layer (IBDL) method. We formulate it for Poisson, Helmholtz, Brinkman, Stokes, and Navier-Stokes equations and demonstrate its efficiency over the other constraint method. In this new formulation, the equation for the unknown boundary distribution corresponds to a well-conditioned second-kind integral equation that can be solved efficiently with a small number of iterations of a Krylov method. Furthermore, the iteration count is independent of both the mesh size and the boundary point spacing. The method converges away from the boundary, and when combined with a local interpolation, it converges in the entire PDE domain. Additionally, while the original constraint method applies only to Dirichlet problems, the IBDL formulation can also be used for Neumann boundary conditions.


翻译:Peskin (J. complorut. Phys., 1977) 的隐形边界法(IB) 用于处理流体结构相互作用或复杂的地貌问题。 IB 框架通过使用独立于几何学的常规网格,可以产生一个强大的数字系统,能够有效地处理淡化的变形结构。 IB 方法也已经适应了指定运动和其他边界数据PDE系统的问题。 这些问题的 IB 方法传统上涉及惩罚力量,这些力量仅能大致满足边界条件,或形成制约问题。 在后一种办法中,人们必须找到未知的力量,解决一个与条件差的一等式整体等式相对的方程式。 因此,IB 框架框架可以产生大量的迭代数,可以有效处理沉淡淡淡的构造。 这个方法可以在不设先决条件的情况下,可以带来新的、成熟的IB 格式, 叫做 Immers 边界二号 (IBDL) 。 我们用这个方法来展示它与不易化的边框法,, 将它用来解释的边框法 。

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