Cyclic lattices and ideal lattices were introduced by Micciancio in \cite{D2}, Lyubashevsky and Micciancio in \cite{L1} respectively, which play an efficient role in Ajtai's construction of a collision resistant Hash function (see \cite{M1} and \cite{M2}) and in Gentry's construction of fully homomorphic encryption (see \cite{G}). Let $R=Z[x]/\langle \phi(x)\rangle$ be a quotient ring of the integer coefficients polynomials ring, Lyubashevsky and Micciancio regarded an ideal lattice as the correspondence of an ideal of $R$, but they neither explain how to extend this definition to whole Euclidean space $\mathbb{R}^n$, nor exhibit the relationship of cyclic lattices and ideal lattices. In this paper, we regard the cyclic lattices and ideal lattices as the correspondences of finitely generated $R$-modules, so that we may show that ideal lattices are actually a special subclass of cyclic lattices, namely, cyclic integer lattices. In fact, there is a one to one correspondence between cyclic lattices in $\mathbb{R}^n$ and finitely generated $R$-modules (see Theorem \ref{th4} below). On the other hand, since $R$ is a Noether ring, each ideal of $R$ is a finitely generated $R$-module, so it is natural and reasonable to regard ideal lattices as a special subclass of cyclic lattices (see corollary \ref{co3.4} below). It is worth noting that we use more general rotation matrix here, so our definition and results on cyclic lattices and ideal lattices are more general forms. As application, we provide cyclic lattice with an explicit and countable upper bound for the smoothing parameter (see Theorem \ref{th5} below). It is an open problem that is the shortest vector problem on cyclic lattice NP-hard? (see \cite{D2}). Our results may be viewed as a substantial progress in this direction.


翻译:{cyclic lattices 和理想的拉特尔 由 {ccciancio 在\ clite{D2}, Lyubashevsky 和 Micciancio 在\ cite{L1} 中分别引入了 cyclic lattices (cite{M1} 和\ cite{M2} ) 和 Gentry 构建完全一致的加密 (见\ cite} latic } g} 。让 $r> (x) / langle\ fil(x) dirio(x)\ flict) 中, Ryubashevsky 和 Miccianciancio 分别在Ajitai 构建一个抵制碰撞的防撞物功能(见\ citenretretricle}) 中扮演了有效的角色, 但是它们既没有解释如何将这个定义扩展到整个 Euclicliclidede spil deal laticle latime a latime (ator is a latime a latitude) latitude) latitude.

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