Arikan's exciting discovery of polar codes has provided an altogether new way to efficiently achieve Shannon capacity. Given a (constant-sized) invertible matrix $M$, a family of polar codes can be associated with this matrix and its ability to approach capacity follows from the {\em polarization} of an associated $[0,1]$-bounded martingale, namely its convergence in the limit to either $0$ or $1$. Arikan showed polarization of the martingale associated with the matrix $G_2 = \left(\begin{matrix} 1& 0 \\ 1& 1\end{matrix}\right)$ to get capacity achieving codes. His analysis was later extended to all matrices $M$ that satisfy an obvious necessary condition for polarization. While Arikan's theorem does not guarantee that the codes achieve capacity at small blocklengths, it turns out that a "strong" analysis of the polarization of the underlying martingale would lead to such constructions. Indeed for the martingale associated with $G_2$ such a strong polarization was shown in two independent works ([Guruswami and Xia, IEEE IT '15] and [Hassani et al., IEEE IT '14]), resolving a major theoretical challenge of the efficient attainment of Shannon capacity. In this work we extend the result above to cover martingales associated with all matrices that satisfy the necessary condition for (weak) polarization. In addition to being vastly more general, our proofs of strong polarization are also simpler and modular. Specifically, our result shows strong polarization over all prime fields and leads to efficient capacity-achieving codes for arbitrary symmetric memoryless channels. We show how to use our analyses to achieve exponentially small error probabilities at lengths inverse polynomial in the gap to capacity. Indeed we show that we can essentially match any error probability with lengths that are only inverse polynomial in the gap to capacity.


翻译:Arikan令人兴奋地发现了极地代码,这为高效率地实现香农能力提供了全新的新途径。鉴于一个(固定大小)不可倒置的基质,极地代码大家庭可以与这个基质挂钩,其能力来自相关的 $80,1美元绑定的马丁格勒, 即它以零美元或1美元为限。 Arikan展示了与基质 $_2 = left (\ begin{matrix} 1 & 0\ 0\ 1\\ end{matrix{right) 相联的马丁基质, 以获得能力。 他的分析后来扩大到所有满足极化明显必要条件的基质 $M。 虽然 Arikan的理论无法保证代码在小块长度内达到能力, 也就是说, 对基质马丁格尔的极分化只会导致这样的构建。 事实上, 与 与 $G_ 2 相关的马丁基值 和 如此强烈的极分化在两个独立工程( [Guruiswami] 和 Xialalalalalalalalalal dal dalal) 分析中显示我们所需的直径 。

0
下载
关闭预览

相关内容

Linux导论,Introduction to Linux,96页ppt
专知会员服务
77+阅读 · 2020年7月26日
Fariz Darari简明《博弈论Game Theory》介绍,35页ppt
专知会员服务
109+阅读 · 2020年5月15日
专知会员服务
60+阅读 · 2020年3月19日
专知会员服务
109+阅读 · 2020年3月12日
《DeepGCNs: Making GCNs Go as Deep as CNNs》
专知会员服务
30+阅读 · 2019年10月17日
【SIGGRAPH2019】TensorFlow 2.0深度学习计算机图形学应用
专知会员服务
39+阅读 · 2019年10月9日
已删除
将门创投
7+阅读 · 2020年3月13日
Call for Participation: Shared Tasks in NLPCC 2019
中国计算机学会
5+阅读 · 2019年3月22日
2012-2018-CS顶会历届最佳论文大列表
深度学习与NLP
6+阅读 · 2019年2月1日
disentangled-representation-papers
CreateAMind
26+阅读 · 2018年9月12日
Hierarchical Disentangled Representations
CreateAMind
4+阅读 · 2018年4月15日
carla 学习笔记
CreateAMind
9+阅读 · 2018年2月7日
ResNet, AlexNet, VGG, Inception:各种卷积网络架构的理解
全球人工智能
19+阅读 · 2017年12月17日
计算机类 | 国际会议信息7条
Call4Papers
3+阅读 · 2017年11月17日
Auto-Encoding GAN
CreateAMind
7+阅读 · 2017年8月4日
VIP会员
相关VIP内容
Linux导论,Introduction to Linux,96页ppt
专知会员服务
77+阅读 · 2020年7月26日
Fariz Darari简明《博弈论Game Theory》介绍,35页ppt
专知会员服务
109+阅读 · 2020年5月15日
专知会员服务
60+阅读 · 2020年3月19日
专知会员服务
109+阅读 · 2020年3月12日
《DeepGCNs: Making GCNs Go as Deep as CNNs》
专知会员服务
30+阅读 · 2019年10月17日
【SIGGRAPH2019】TensorFlow 2.0深度学习计算机图形学应用
专知会员服务
39+阅读 · 2019年10月9日
相关资讯
已删除
将门创投
7+阅读 · 2020年3月13日
Call for Participation: Shared Tasks in NLPCC 2019
中国计算机学会
5+阅读 · 2019年3月22日
2012-2018-CS顶会历届最佳论文大列表
深度学习与NLP
6+阅读 · 2019年2月1日
disentangled-representation-papers
CreateAMind
26+阅读 · 2018年9月12日
Hierarchical Disentangled Representations
CreateAMind
4+阅读 · 2018年4月15日
carla 学习笔记
CreateAMind
9+阅读 · 2018年2月7日
ResNet, AlexNet, VGG, Inception:各种卷积网络架构的理解
全球人工智能
19+阅读 · 2017年12月17日
计算机类 | 国际会议信息7条
Call4Papers
3+阅读 · 2017年11月17日
Auto-Encoding GAN
CreateAMind
7+阅读 · 2017年8月4日
Top
微信扫码咨询专知VIP会员